a Densidade functionEdit
A forma da função de densidade da distribuição de Weibull muda drasticamente com o valor de k. Para 0 < k < 1, a função de densidade tende para ∞ medida que x se aproxima de zero, a partir de cima e é estritamente decrescente. Para k = 1, a função densidade tende a 1/λ À medida que x se aproxima de zero a partir de cima e está estritamente diminuindo. Para k > 1, a função densidade tende a zero à medida que x se aproxima de zero a partir de cima, aumenta até seu modo e diminui após ele., A função de densidade tem infinita inclinação negativa em x = 0 se 0 < k < 1, infinito inclinação positiva em x = 0, se 1 < k < 2 e declive nulo em x = 0 se k > 2. Para k = 1 a densidade tem uma inclinação negativa finita em x = 0. Para k = 2 a densidade tem uma inclinação positiva finita em x = 0. À medida que k vai para o infinito, a distribuição Weibull converge para uma distribuição delta Dirac centrada em X = λ. Além disso, a inclinação e o coeficiente de variação dependem apenas do parâmetro forma., Uma generalização da distribuição de Weibull é a hyperbolastic distribuição do tipo III.
distribuição Cumulativa functionEdit
A função de distribuição acumulada para a distribuição de Weibull é
F ( x ; k , λ ) = 1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}\,}
para x ≥ 0, e F(x; k; λ) = 0 para x < 0.
Se x = λ F(x; k; λ) = 1 − e−1 ≈ 0.632 para todos os valores de k. Vice-versa: em F(x; k; λ) = 0.632 o valor de x ≈ λ.,
O gráfico quantil (inverso da distribuição cumulativa) a função de distribuição de Weibull é
Q ( p ; k , λ ) = λ ( − ln ( 1 − p ) ) 1 / k {\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}
para 0 ≤ p < 1.
a taxa de falha h (ou função de perigo) é dada por
h ( x ; k , λ) = k λ ( x λ) k − 1 . {\displaystyle h (x; k,\lambda) ={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}
O tempo médio entre falhas MTBF é
MTBF ( k , λ ) = λ Γ ( 1 + 1 / k ) . {\displaystyle {\text{MTBF}} (k,\lambda) =\lambda \Gamma (1+1/k).,}
MomentsEdit
O momento de geração de função do logaritmo de um Weibull distribuído variável aleatória é dada por
E = λ t Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} \left=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}
onde Γ é a função gamma. Similarmente, a função característica de log X é dada por
e = λ i t Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {e} \left = \lambda ^{it}\Gamma \left ({\frac {it}{k}}+1\right).}
em particular, o n ° momento bruto de X é dado por
m N = λ N Γ ( 1 + n k ) ., {\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left (1+{\frac {n}{k}}}\right).}
A média e variância de uma variável aleatória Weibull pode ser expressa como:
E ( X ) = λ Γ ( 1 + 1 k ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}
e
var ( X ) = λ 2 . {\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left\,.,}
A assimetria é dado por
γ 1 = Γ ( 1 + 3 k ) λ 3 − 3 μ σ 2 − m 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}
, onde a média é denotada por µ e o desvio padrão é denotado por σ.,
O excesso de curtose é dado por
γ 2 = − 6 Γ 1 4 + 12 Γ 1 2 Γ 2 − 3 Γ 2 2 − 4 Γ 1 Γ 3 + Γ 4 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gama _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gama _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{^{2}}}}
onde Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)} ., O excesso de curtose pode também ser escrito como:
γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + k 4 ) − 4 γ 1 σ 3 m − 6 m 2 σ 2 − μ 4 σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}
Momento de geração de functionEdit
Uma variedade de expressões estão disponíveis para o momento de geração de função de X em si. Como uma série de potência, uma vez que os momentos brutos já são conhecidos, tem-se
e = ∑ n = 0 ∞ T N λ n ! Γ ( 1 + n k ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!,}}\Gama \esquerda (1+{\frac {n}{k}}\direita).}
alternativamente, pode-se tentar lidar diretamente com a integral
e = ∞ 0 ∞ e t x k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k d X. {\displaystyle \operatorname {E} \left=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}
Se o parâmetro k é assumido como um número racional, expresso como k = p/q Onde p E q são inteiros, então este integral pode ser avaliado analiticamente., Com t substituído por-t, encontra − se
e = 1 λ k t k p k q / p ( 2 π ) q + p − 2 G p , q , p ( 1 − k p , 2-k p , … , p-k p 0 q, 1 q,… , q − 1 q | p p ( q λ k t k ) q ) {\displaystyle \operatorname {E} \left={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {p/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\esquerda (\esquerda.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\pontos{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\pontos{\frac {n-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}
, onde G é a Meijer a função G.,
A função característica também foi obtida por Muraleedharan et al. (2007). A função característica e a função geradora de momento da distribuição Weibull de 3 parâmetros também foram derivadas por Muraleedharan & Soares (2014) harvtxt error: No target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help) by a direct approach.,
Shannon entropyEdit
As informações a entropia é dada por
H ( λ , k ) = γ ( 1 − 1 de k ) + ln ( λ k ) + 1 {\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}
onde γ {\displaystyle \gamma } é o de Euler–Mascheroni constante. A distribuição Weibull é a distribuição máxima de entropia para uma variável aleatória real não-negativa com um valor esperado fixo de xk igual a λk e um valor esperado fixo de ln(xk) igual a ln(λk) − γ {\displaystyle \gamma } .,λ ^ k = 1 N ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) {\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}
Também dada essa condição, o estimador de máxima verossimilhança para k {\displaystyle k} é
0 = ∑ i = 1 N ( x i k ln x i − x N k ln x N ) ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) − 1 N ∑ i = 1 N ln x i {\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}
Novamente, sendo esta uma função implícita, deve-se, geralmente, resolver para k {\displaystyle k} numérica significa.,