función de Densidadeditar

la forma de la función de densidad de la distribución de Weibull cambia drásticamente con el valor de k. Para 0 < k < 1, La función de densidad tiende a ∞ cuando x se acerca a cero desde arriba y está disminuyendo estrictamente. Para k = 1, la función de densidad tiende a 1/λ cuando x se acerca a cero desde arriba y está disminuyendo estrictamente. Para k > 1, la función de densidad tiende a cero a medida que x se acerca a cero desde arriba, aumenta hasta su modo y disminuye después de él., La función de densidad tiene una infinidad de pendiente negativa en x = 0 si 0 < k < 1, infinito pendiente positiva en x = 0 si 1 < k < 2 y nula la pendiente en x = 0 si k > 2. Para k = 1 la densidad tiene una pendiente negativa finita en x = 0. Para k = 2 La densidad tiene una pendiente positiva finita en x = 0. Cuando k va al infinito, la distribución de Weibull converge a una distribución Delta de Dirac centrada en x = λ. Además, la asimetría y el coeficiente de variación dependen solo del parámetro shape., Una generalización de la distribución de Weibull es la distribución hiperbolástica del tipo III.

función de distribución Acumulativaeditar

la función de distribución acumulativa para la distribución de Weibull es

F ( x ; k , λ ) = 1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}\,}

para x ≥ 0, y F(x; k; λ) = 0 para X < 0.

Si x = λ entonces F (x; k; λ) = 1 − e−1 ≈ 0.632 para todos los valores de k. viceversa: en F(x; k; λ) = 0.632 el valor de x ≈ λ.,

la función cuantil (distribución acumulada inversa) para la distribución de Weibull es

Q ( p ; k , λ ) = λ ( − ln ⁡ ( 1 − p ) ) 1 / k {\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}

para 0 ≤ p < 1.

la tasa de fallo h (o función de peligro) viene dada por

h ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) k − 1 . {\displaystyle H (x; k, \ lambda) = {k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}

el tiempo medio entre fallos MTBF es

MTBF (k, λ) = λ Γ ( 1 + 1 / k). {\displaystyle {\text{MTBF}} (k, \ lambda) = \lambda \Gamma (1+1/k).,}

MomentsEdit

la función generadora de momento del logaritmo de una variable aleatoria distribuida Weibull está dada por

E ⁡ = λ t Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} \left=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}

donde Γ es la función gamma. De manera similar, la función característica de log X está dada por

E ⁡ = λ i t Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {e} \left=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}

en particular, el enésimo momento crudo de X viene dado por

m n = λ n Γ (1 + N k ) ., {\displaystyle m_{n} = \lambda ^{n} \Gamma\left(1+{\frac {n}{k}} \ right).}

la media y varianza de una variable aleatoria de Weibull se puede expresar como

E ⁡ (X)=λ Γ ( 1 + 1 k) {\displaystyle \operatorname {E} (X) = \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}

Y

var ⁡ ( X) = λ 2 . {\displaystyle \ operatorname {var} (X) = \lambda ^{2} \ left\,.,}

La asimetría que se da por

γ 1 = Γ ( 1 + k 3 ) λ 3 − 3 µ σ 2 − µ 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}

donde la media se representa por m y la desviación estándar es denotado por σ.,

El exceso de curtosis es dada por

γ 2 = − 6 Γ 1 4 + 12 Γ 1 2 Γ 2 − 3 Γ 2 2 − 4 Γ 1 Γ 3 + Γ 4 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{^{2}}}}

donde Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)} ., El exceso de curtosis también se puede escribir como:

γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + 4 k ) − 4 γ 1 σ 3 μ − 6 μ 2 σ 2 − μ 4 σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}

función generadora de momentoeditar

una variedad de expresiones están disponibles para la función generadora de momento de X en sí. Como una serie de potencias, ya que los momentos crudos ya son conocidos, uno tiene

E ⁡ = ∑ n = 0 ∞ t n λ n n ! Γ (1 + N k). {\displaystyle \operatorname {E} \left=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!,}} \ Gamma \ left (1+{\frac {n}{k}}\right).}

alternativamente, se puede tratar directamente con la integral

E ⁡ = ∫ 0 ∞ e T x k λ ( x λ ) k − 1 e − (x / λ ) k d x . {\displaystyle \operatorname {E} \left=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}

si se asume que el parámetro k es un número racional, expresado como k = p / q donde p y q son enteros, entonces esta integral puede ser evaluada analíticamente., Con T reemplazado por-t, se encuentra

E ⁡ = 1 λ k t k p k q / p ( 2 π ) q + p − 2 G p , q q, p (1 − k p , 2 − k p , … , p-k p 0 q, 1 q , … , q − 1 q | p p ( p λ k t k ) q ) {\displaystyle \operatorname {E} \left={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {p/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{p+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left (\left.{\begin{matriz}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matriz}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\derecho)^{q}}}\right)}

donde G es la Meijer de la función G.,

La función característica también ha sido obtenida por Muraleedharan et al. (2007). La función característica y la función generadora de momento de la distribución de Weibull de 3 parámetros también han sido derivadas por Muraleedharan & Soares (2014) harvtxt error: No target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help) por un enfoque directo.,

entropía de Shannon

la entropía de información viene dada por

H ( λ , k ) = γ ( 1 − 1 k ) + ln ⁡ ( λ k ) + 1 {\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\LN \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}

donde γ {\displaystyle \gamma } es la constante Euler–Mascheroni. La distribución de Weibull es la distribución de entropía máxima para una variada aleatoria real no negativa con un valor esperado fijo de xk igual a λk y un valor esperado fijo de ln(xk) igual a LN(λk) − γ {\displaystyle \gamma } .,λ ^ k = 1 N ∑ i = 1 N ( x i k x N k ) {\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}

También se da esa condición, el estimador de máxima verosimilitud para k {\displaystyle k} es

0 = ∑ i = 1 N ( x i k ln ⁡ x i − x N k ln ⁡ x N ) ∑ i = 1 N ( x i k x N k ) − 1 N ∑ i = 1 N ln ⁡ x i {\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}

de Nuevo, siendo esta una función implícita, generalmente se debe resolver para k {\displaystyle k} numérica significa.,