Densitatea functionEdit

forma de funcția de densitate de distribuție Weibull se schimbă drastic cu valoarea k. Pentru 0 < k < 1, funcția de densitate tinde la ∞ când x tinde la zero de mai sus și este strict descrescătoare. Pentru k = 1, Funcția de densitate tinde la 1 / λ, Pe măsură ce x se apropie de zero de sus și scade strict. Pentru k > 1, funcția de densitate tinde la zero când x tinde la zero de mai sus, crește până la modul și scade după ea., Funcția de densitate a infinit pantă negativă la x = 0, dacă 0 < k < 1, infinit pantă pozitivă la x = 0, dacă 1 < k < 2 și nul panta la x = 0 dacă k > 2. Pentru k = 1 densitatea are o pantă negativă finită la x = 0. Pentru k = 2 densitatea are o pantă pozitivă finită la x = 0. Pe măsură ce k merge la infinit, distribuția Weibull converge la o distribuție Delta Dirac centrată la X = λ. Mai mult, înclinarea și coeficientul de variație depind doar de parametrul de formă., O generalizare de distribuție Weibull este hyperbolastic de distribuție de tip III.

de distribuție Cumulativă functionEdit

funcția de distribuție cumulativă de distribuție Weibull este

F ( x, k , λ ) = 1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}\,}

pentru x ≥ 0, iar F(x; k; λ) = 0 pentru x < 0.dacă x = λ, Atunci F(x; k; λ) = 1 − e−1 ≈ 0,632 pentru toate valorile lui k. invers: la F(x; k; λ) = 0,632 valoarea lui X ≈ λ.,

quantile (invers de distribuție cumulativă) funcția de distribuție Weibull este

Q ( p ; k , λ ) = λ ( − ln ⁡ ( 1 − p ) ) 1 / k {\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}

pentru 0 ≤ p < 1.

rata de eșec h (sau funcția de pericol) este dată de

h ( x ; k , λ ) = k λ ( X λ ) k − 1 . {\displaystyle h (x; k, \ lambda) = {k \peste \lambda }\stânga({X \peste \lambda }\dreapta)^{k-1}.}

timpul mediu dintre eșecuri MTBF este

MTBF ( k, λ ) = λ Γ (1 + 1 / k ) . {\displaystyle {\text{CBTM}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).,}

MomentsEdit

în momentul În funcția generatoare de logaritmul unui Weibull distribuite variabilă aleatoare este dată de

E ⁡ = λ t Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} \left=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}

în cazul în care Γ este funcția gamma. În mod similar, funcția caracteristică a log X este dată de

e ⁡ = λ i t Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left=\lambda ^{a}\Gamma \left({\frac {a}{k}}+1\dreapta).}

în special, al nouălea moment brut al lui X este dat de

m n = λ n Γ (1 + n k ) ., {\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}

media și varianța unei Weibull variabilă aleatoare poate fi exprimată ca

E ⁡ ( X ) = λ Γ ( 1 + k 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}

și

var ⁡ ( X ) = λ 2 . {\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left\,.,}

skewness este dat de

γ 1 = Γ ( 1 + 3 k ) λ 3 − 3 μ σ 2 − μ 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}

în cazul în care media este notată cu μ și deviația standard este notată cu σ.,

excesul De boltire este dat de

γ 2 = − 6 Γ 1 4 + 12 Γ 1 2 Γ 2 − 3 Γ 2 2 − 4 Γ 1 Γ 3 + Γ 4 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{^{2}}}}

în cazul în care Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)} ., La kurtosis exces poate fi, de asemenea, scris ca:

γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + 4 k ) − 4 γ 1 σ 3 μ − 6 μ 2 σ 2 − μ 4 σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}

Moment generatoare de functionEdit

O varietate de expresii sunt disponibile pentru moment funcția generatoare de X în sine. Ca o serie de putere, deoarece momentele brute sunt deja cunoscute, unul are

E ⁡ = ∑ n = 0 ∞ t n λ n n ! Γ (1 + n k). {\displaystyle \operatorname {E} \left=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!,}} \ Gamma \ stânga (1 + {\frac {n}{k}}\dreapta).}

alternativ, se poate încerca să se ocupe direct cu integrala

e ⁡ = ∫ 0 ∞ E t x k λ ( X λ ) k − 1 E − ( x / λ ) k d x . {\displaystyle \operatorname {E} \left=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}

dacă se presupune că parametrul k este un număr rațional, exprimat ca k = p / q unde p și q sunt întregi, atunci această integrală poate fi evaluată analitic., Cu t înlocuit cu − t, se găsește

E ⁡ = 1 λ k t k p k q / p ( 2 π ) q + p − 2 G p , q q , p ( 1 − K p , 2-k p , … , p-k p 0 q, 1 q , … , q − 1 q | p p ( q λ k t k ) q ) {\displaystyle \operatorname {E} \left={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\stânga (\stânga.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\dreapta|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}

în cazul în care G este Meijer G-funcție.,funcția caracteristică a fost obținută și de Muraleedharan și colab. (2007). Caracteristica funcția și momentul în funcția generatoare de 3-parametru distribuția Weibull, de asemenea, au fost obținute de Muraleedharan & Soares (2014) harvtxt eroare: nicio țintă: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (ajutor) printr-o abordare directă.,

Shannon entropyEdit

entropia informației este dat de

H ( λ , k ) = γ ( 1 − k 1 ) + ln ⁡ ( λ k ) + 1 {\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\in \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}

în cazul în care γ {\displaystyle \gamma } este constantă Euler–Mascheroni. Din distribuția Weibull este entropia maximă de distribuție pentru un non-real negative variate întâmplătoare cu un fix de așteptat valoarea xk egal cu λk și un fix de așteptat valoarea ln(xk) egală cu ln(λk) − γ {\displaystyle \gamma } .,λ ^ k = 1 N ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) {\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}

de Asemenea, având în vedere că starea, probabilitatea maximă estimator pentru k {\displaystyle k} este

0 = ∑ i = 1 N ( x i k ln ⁡ x i − x N k ln ⁡ x N ) ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) − 1 N ∑ i = 1 N ln ⁡ x i {\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\in x_{i}}

din Nou, aceasta fiind o functie implicita, trebuie să rezolva, în general, pentru k {\displaystyle k} prin numerice înseamnă.,