Distribuzione di Weibull

Densità functionEdit

La forma della funzione di densità della distribuzione di Weibull cambia drasticamente con il valore di k. Per 0 < k < 1, la funzione di densità tende a ∞ per x che tende a zero da sopra e strettamente decrescente. Per k = 1, la funzione di densità tende a 1 / λ quando x si avvicina a zero dall’alto ed è strettamente decrescente. Per k > 1, la funzione di densità tende a zero quando x si avvicina a zero dall’alto, aumenta fino alla sua modalità e diminuisce dopo di essa., La funzione di densità è infinito pendenza negativa in x = 0 se 0 < k < 1, infinito pendenza positiva in x = 0 se 1 < k < 2 e null pendenza in corrispondenza di x = 0 se k > 2. Per k = 1 la densità ha una pendenza negativa finita a x = 0. Per k = 2 la densità ha una pendenza positiva finita a x = 0. Quando k va all’infinito, la distribuzione di Weibull converge in una distribuzione delta di Dirac centrata su x = λ. Inoltre, l’asimmetria e il coefficiente di variazione dipendono solo dal parametro della forma., Una generalizzazione della distribuzione di Weibull è il hyperbolastic distribuzione di tipo III.

distribuzione Cumulativa functionEdit

La funzione di distribuzione cumulativa per la distribuzione di Weibull è

F ( x ; k , λ ) = 1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x, k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}\,}

per x ≥ 0, e F(x; k; λ) = 0 per x < 0.

Se x = λ allora F(x; k; λ) = 1 − e−1 ≈ 0,632 per tutti i valori di k. Viceversa: a F(x; k; λ) = 0,632 il valore di x ≈ λ.,

quantile (distribuzione cumulativa inversa) funzione per la distribuzione di Weibull è

Q ( p , k, λ ) = λ ( − ln ⁡ ( 1 − p ) ) 1 / k {\displaystyle Q(p, k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p)^{1/k}}

per 0 ≤ p < 1.

Il tasso di guasto h (o funzione di pericolo) è dato da

h ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) k − 1 . {\displaystyle h (x; k, \ lambda) ={k \ over \ lambda} \ left ({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}

Il tempo medio tra guasti MTBF è

MTBF ( k , λ ) = λ Γ ( 1 + 1 / k ) . Per maggiori informazioni clicca qui.,}

MomentsEdit

La funzione generatrice del logaritmo di un Weibull distribuito variabile casuale è dato da

E ⁡ = λ t Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} \left=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}

dove Γ è la funzione gamma. Allo stesso modo, la funzione caratteristica del log X è data da

E ⁡ = λ i t Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle \ operatorname {E} \ left= \ lambda ^{it} \ Gamma \ left ({\frac {it} {k}}+1 \ right).}

In particolare, l’ennesimo momento grezzo di X è dato da

m n = λ n Γ ( 1 + n k ) ., Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.}

La media e la varianza di una variabile casuale di Weibull possono essere espresse come

E E ( X ) = λ Γ ( 1 + 1 k ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}

e

var var ( X ) = λ 2 . {\displaystyle \ operatorname {var} (X)= \ lambda ^{2}\left\,.,}

L’asimmetria è dato da

γ 1 = Γ ( 1 + 3 k ) λ 3 − 3 µ σ 2 − m 3 s 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}

dove la media è indicata da µ e deviazione standard è indicata da σ.,

L’eccesso di curtosi è dato da

γ 2 = − 6 c. 1 4 + 12 Γ 1 2 c. 2 − 3 Γ 2 2 − 4 1 Γ Γ 3 + Γ 4 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{^{2}}}}

dove Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)} ., La curtosi in eccesso può anche essere scritto come:

γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + 4 k ) − 4 c. 1 σ 3 µ − 6 × 2 σ 2 − m 4 s 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}

generatrice functionEdit

Una varietà di espressioni sono disponibili per la funzione generatrice dei momenti di X stesso. Come serie di potenze, poiché i momenti grezzi sono già noti, si ha

E! = n n = 0 ∞ t n λ n n! Γ (1 + n k). Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!,}} \ Gamma \ sinistra(1 + {\frac {n} {k}} \ destra).}

In alternativa, si può tentare di trattare direttamente con l’integrale

E = = ∫ 0 ∞ e t x k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k d x . {\displaystyle \operatorname {E} \left=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}

Se si presume che il parametro k sia un numero razionale, espresso come k = p/q dove p e q sono interi, allora questo integrale può essere valutato analiticamente., Con t sostituito da-t, si trova

E = = 1 λ k t k p k q / p (2 π ) q + p-2 G p, q q, p (1 − k p , 2-k p , … , p-k p 0 q, 1 q , … q − 1 q | p ( q λ k t k), q ) {\displaystyle \operatorname {E} \left={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\ left (\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}

dove G è la Meijer G-funzione.,

La funzione caratteristica è stata ottenuta anche da Muraleedharan et al. (2007). La funzione caratteristica e la funzione di generazione del momento della distribuzione di Weibull a 3 parametri sono state derivate anche da Muraleedharan& Soares (2014) harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help) con un approccio diretto.,

Shannon entropyEdit

Le informazioni di entropia è data da

H ( l , k ) = γ ( 1 − 1 k ) + ln ⁡ ( λ k ) + 1 {\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}

dove γ {\displaystyle \gamma } è di Eulero–Mascheroni costante. La distribuzione di Weibull è la distribuzione massima di entropia per una variabile casuale reale non negativa con un valore atteso fisso di xk uguale a λk e un valore atteso fisso di ln(xk) uguale a ln (λk) − γ {\displaystyle \gamma } .,λ ^ k = 1 N ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) {\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}

Inoltre, dato che la condizione, lo stimatore di massima verosimiglianza per k {\displaystyle k} è

0 = ∑ i = 1 N ( x i k ln ⁡ x i − x N k ln ⁡ x N ) ∑ i = 1 N ( x k − x k ) − 1 N ∑ i = 1 N ln ⁡ x i {\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}

di Nuovo, e questa è un’implicita funzione, si deve generalmente risolvere per k {\displaystyle k} numerica significa.,

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