fonction de Densitedit

la forme de la fonction de densité de la distribution de Weibull change radicalement avec la valeur de K. pour 0< k< 1, la fonction de densité tend vers ∞ lorsque x s’approche de zéro par le haut et est strictement Décroissante. Pour k = 1, la fonction de densité tend vers 1/λ lorsque x s’approche de zéro par le haut et est strictement Décroissante. Pour k > 1, la fonction de densité tend vers zéro lorsque x s’approche de zéro par le haut, augmente jusqu’à son mode et diminue après., La fonction de densité est l’infinie pente négative pour x = 0 si 0 < k < 1, infini pente positive pour x = 0 si 1 < k < 2 et de pente nulle en x = 0 si k > 2. Pour k = 1, la densité a une pente négative finie à x = 0. Pour k = 2, la densité a une pente positive finie à x = 0. Lorsque k va à l’infini, la distribution de Weibull converge vers une distribution Delta de Dirac centrée à x = λ. De plus, l’asymétrie et le coefficient de variation ne dépendent que du paramètre de forme., Une généralisation de la distribution de Weibull est la distribution hyperbolastique de type III.

fonction de distribution Cumulativedit

la fonction de distribution cumulative pour la distribution de Weibull est

F ( x ; k , λ ) = 1 − e − ( X / λ ) k {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}\,}

Pour x ≥ 0, et F(X; K; λ) = 0 pour X < 0.

Si x = λ alors F(x; k; λ) = 1 − e−1 ≈ 0.632 pour toutes les valeurs de k. Vice-versa: F(x; k; λ) = 0.632 la valeur de x ≈ λ.,

La fonction quantile (inverse de la distribution cumulée) de la fonction de la distribution de Weibull est

Q ( p ; k , λ ) = λ ( − ln ⁡ ( 1 − p ) ) 1 / k {\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}

pour 0 ≤ p < 1.

le taux de défaillance h (ou fonction de danger) est donné par

h ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) k − 1 . {\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}

le temps moyen entre les défaillances MTBF est

MTBF ( k , λ ) = λ Γ ( 1 + 1 / k ) . {\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).,}

MomentsEdit

la fonction génératrice de moment du logarithme D’une variable aléatoire distribuée de Weibull est donnée par

E ⁡ = λ T Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} \left=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}

Où Γ est la fonction gamma. De même, la fonction caractéristique de log X est donnée par

E ⁡ = λ I T Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left=\lambda ^{il}\Gamma \left({\frac {il}{k}}+1\right).}

en particulier, le nième moment brut de X est donné par

M n = λ N Γ ( 1 + N k ) ., {\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}

la moyenne et la variance d’une variable aléatoire de Weibull peuvent être exprimées comme suit:

E ⁡ ( X ) = λ Γ ( 1 + 1 k ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}

et

var ⁡ ( X ) = λ 2 . {\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left\,.,}

Le coefficient d’asymétrie est donnée par

γ 1 = Γ ( 1 + 3 k ) λ 3 − 3 μ, σ 2 − μ 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}

où la moyenne est notée par μ et l’écart-type est indiqué par σ.,

L’excès de kurtosis est donnée par

γ 2 = − 6 Γ 1 4 + 12 Γ 1 2 Γ 2 − 3 Γ 2 2 − 4 Γ 1 Γ 3 + Γ 4 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{^{2}}}}

où Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)} ., Le coefficient d’aplatissement franchise peut également être écrite comme suit:

γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + 4 k ) − 4 γ 1 σ 3 μ − 6 μ 2 σ 2 − μ 4 σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}

Moment de la génération functionEdit

Une variété d’expressions sont disponibles pour le moment la fonction génératrice de X lui-même. En tant que série de puissance, puisque les moments bruts sont déjà connus, on a

E ⁡ = ∑ n = 0 ∞ T N λ n n ! Γ ( 1 + n k). {\displaystyle \operatorname {E} \left=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!,}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}

alternativement, on peut tenter de traiter directement l’intégrale

E ⁡ = ∫ 0 ∞ e T x k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) K d X. {\displaystyle \operatorname {E} \left=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}

Si le paramètre k est supposé être un nombre rationnel, exprimé en k = p/q où p et q sont des entiers, alors cette intégrale peut être évaluée analytiquement., Avec t remplacé par −t, on trouve

E ⁡ = 1 λ k t k p k q / p ( 2 π ) q + p − 2 G p , q q , p ( 1 − k p , 2 − k p , … p − k p 0 q 1 q , … , q − 1 q | p p ( q λ k t k ) q ) {\displaystyle \operatorname {E} \left={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}

où G est la Meijer G-fonction.,

La fonction caractéristique a également été obtenue par Muraleedharan et coll. (2007). La fonction caractéristique et la fonction génératrice de moment de la distribution de Weibull à 3 paramètres ont également été dérivées par Muraleedharan & Soares (2014) harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help) par une approche directe.,

Shannon entropyEdit

Les informations de l’entropie est donnée par

H ( λ , k ) = γ ( 1 − k 1 ) + ln ⁡ ( λ k ) + 1 {\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}

où γ {\displaystyle \gamma } est la droite d’Euler–Mascheroni constante. La distribution de Weibull est la distribution d’entropie maximale pour une variable aléatoire réelle non négative avec une valeur attendue fixe de xk égale à λk et une valeur attendue fixe de LN(xk) égale à Ln(λk) − γ {\displaystyle \gamma } .,λ ^ k = 1 N ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) {\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}

Aussi, compte tenu de cette condition, l’estimateur du maximum de vraisemblance pour k {\displaystyle k} est

0 = ∑ i = 1 N ( x i k ln ⁡ x i − x N k ln ⁡ x N ) ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) N − 1 ∑ i = 1 N ln ⁡ x i {\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}

Encore une fois, ceci étant une fonction implicite, on doit généralement résoudre pour k {\displaystyle k} par le numérique signifie.,