Un tracé paramétrique d’un ruban de Möbius

Pour activer un rectangle dans une bande de Möbius, rejoignez les bords de l’étiquette de sorte que les directions des flèches match.,

Une façon de représenter le ruban de Möbius comme un sous-ensemble de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} peut être fait en utilisant la paramétrisation:

x ( r , α ) = cos ⁡ ( α ) ⋅ ( 1 + r 2 cos ⁡ α 2 ) {\displaystyle x(r,\alpha )=\cos(\alpha )\cdot \left(1+{\frac {r}{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)} y ( r , α ) = sin ⁡ ( α ) ⋅ ( 1 + r 2 cos ⁡ α 2 ) {\displaystyle y(r,\alpha )=\sin(\alpha )\cdot \left(1+{\frac {r}{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)} z ( r , α ) = r 2 sin ⁡ α 2 {\displaystyle z(r,\alpha )={\frac {r}{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}}

Où 0 ≤ α < 2π et -1 ≤ r ≤ 1., Cela crée une bande de Möbius de largeur 1 dont le cercle central a le rayon 1, se trouve dans le plan xy et est centré à (0, 0, 0). Le paramètre u court autour de la bande tandis que v se déplace d’un bord à l’autre.

En coordonnées polaires cylindriques (r, θ, z), une version non bornée de la bande de Möbius peut être représentée par l’équation:

log log ( r ) sin sin ( 1 2 θ ) = z cos CO ( 1 2 θ ) . {\displaystyle \textstyle \log(r)\sin \left({\frac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\frac {1}{2}}\theta \right).}

la bande de Möbius est un collecteur compact bidimensionnel (c’est-à-dire une surface) avec une limite., C’est un exemple standard d’une surface qui n’est pas orientable. La bande de Möbius est également un exemple standard utilisé pour montrer l’idée mathématique d’un faisceau de fibres. Plus précisément, il s’agit d’un faisceau non trivial sur le cercle S1 avec une fibre l’intervalle unitaire, I = . Regarder seulement le bord de la bande de Möbius donne un faisceau non trivial à deux points (ou Z2) sur S1.

Une construction simple de la bande de Möbius, qui peut être utilisée pour la montrer dans des progiciels d’infographie ou de modélisation, est la suivante:

• prenez une bande rectangulaire. Faire pivoter autour d’un point fixe pas dans son plan., À chaque étape, tournez également la bande le long d’une ligne dans son plan (la ligne qui divise la bande en deux) et perpendiculairement au rayon orbital principal. La surface générée sur une révolution complète est la bande de Möbius.
• prenez une bande de Möbius et coupez-la le long du milieu de la bande. Cela formera une nouvelle bande, qui est un rectangle joint en tournant une extrémité d’un tour entier. En le coupant à nouveau au milieu, cela forme deux bandes de tour entier imbriquées.