em matemática, contra-exemplos são frequentemente usados para provar os limites de possíveis teoremas. Usando contra-exemplos para mostrar que certas conjecturas são falsas, pesquisadores matemáticos podem então evitar descer becos cegos e aprender a modificar conjecturas para produzir teoremas demonstráveis. Às vezes diz-se que o desenvolvimento matemático consiste principalmente em encontrar (e provar) teoremas e contra-exemplos.

retângulo exampleEdit

suponha que um matemático está estudando geometria e formas, e ela deseja provar certos teoremas sobre eles., Ela conjectura que” todos os retângulos são quadrados”, e ela está interessada em saber se esta afirmação é verdadeira ou falsa.

neste caso, ela pode tentar provar a verdade da declaração usando o raciocínio dedutivo, ou ela pode tentar encontrar um contra-exemplo da declaração se ela suspeita que seja falsa. Neste último caso, um contra-exemplo seria um retângulo que não é um quadrado, como um retângulo com dois lados de comprimento 5 e dois lados de comprimento 7. No entanto, apesar de ter encontrado retângulos que não eram quadrados, todos os retângulos que ela encontrou tinham quatro lados., Ela então faz a nova conjectura “todos os retângulos têm quatro lados”. Isto é logicamente mais fraco do que sua conjectura original, uma vez que cada quadrado tem quatro lados, mas nem todo formato de quatro lados é um quadrado.

O exemplo acima explicado — de forma simplificada — como um matemático pode enfraquecer a sua conjectura em face de counterexamples, mas counterexamples também pode ser usado para demonstrar a necessidade de certas suposições e hipóteses., Por exemplo, suponha que depois de um tempo, o matemático acima se estabeleceu na nova conjectura “todas as formas que são retângulos e têm quatro lados de comprimento igual são quadrados”. Esta conjectura tem duas partes para a hipótese: a forma deve ser “um retângulo” e deve ter “quatro lados de igual comprimento”. O matemático então gostaria de saber se ela pode remover qualquer suposição, e ainda manter a verdade de sua conjectura. Isto significa que ela precisa verificar a verdade das duas afirmações seguintes:

1. “Todas as formas que são retângulos são quadrados.,”
2. “Todas as formas que têm quatro lados de igual comprimento são quadrados”.

um contra-exemplo a (1) já foi dado acima, e um contra-exemplo a (2) é um losango não-quadrado. Assim, o matemático agora sabe que ambas as suposições eram realmente necessárias.

Outros matemáticos examplesEdit

Um contra-exemplo para a afirmação de que “todos os números primos são os números ímpares” é o número 2, como é um número primo, mas não é um número ímpar., Nenhum dos números 7 ou 10 é um contra-exemplo, pois nenhum deles é suficiente para contradizer a afirmação. Neste exemplo, 2 é, de fato, o único contra-exemplo possível para a afirmação, embora isso por si só seja suficiente para contradizer a afirmação. De uma maneira similar, a afirmação “todos os números naturais são primos ou compostos” tem o número 1 como um contra-exemplo, já que 1 não é primo nem compósito.a conjectura da soma de poderes de Euler foi refutada por contra-exemplo. It asserted that at least nth powers were necessary to sum to another nth power., Esta conjectura foi refutada em 1966, com um contra-exemplo envolvendo n = 5; outros contra-exemplos n = 5 são agora conhecidos, bem como alguns contra-exemplos n = 4.o contra-exemplo de Witsenhausen mostra que nem sempre é verdade (para problemas de controle) que uma função de perda quadrática e uma equação linear de evolução da variável estado implicam leis de controle ótimas que são lineares.

outros exemplos incluem os refeitos da conjectura de Seifert, a conjectura de Pólya, a conjectura do décimo quarto problema de Hilbert, a conjectura de Tait, e a conjectura de Ganea.