în matematică, contraexemple sunt adesea folosite pentru a dovedi limitele teoremelor posibile. Folosind contraexemple pentru a arăta că anumite presupuneri sunt false, cercetătorii matematici pot evita apoi să coboare pe aleile oarbe și să învețe să modifice presupuneri pentru a produce teoreme demonstrabile. Se spune uneori că dezvoltarea matematică constă în primul rând în găsirea (și dovedirea) teoremelor și contraexemple.să presupunem că un matematician studiază geometria și formele și dorește să dovedească anumite teoreme despre ele., Ea presupune că „toate dreptunghiurile sunt pătrate” și este interesată să știe dacă această afirmație este adevărată sau falsă. în acest caz, ea poate încerca fie să dovedească adevărul enunțului folosind raționamentul deductiv, fie poate încerca să găsească un contraexemplu al enunțului dacă suspectează că este fals. În acest din urmă caz, un contraexemplu ar fi un dreptunghi care nu este un pătrat, cum ar fi un dreptunghi cu două laturi de lungime 5 și două laturi de lungime 7. Cu toate acestea, în ciuda faptului că a găsit dreptunghiuri care nu erau pătrate, toate dreptunghiurile pe care le-a găsit aveau patru laturi., Ea face apoi noua conjectură”toate dreptunghiurile au patru laturi”. Acest lucru este logic mai slab decât presupunerea ei inițială, deoarece fiecare pătrat are patru laturi, dar nu fiecare formă cu patru fețe este un pătrat.exemplul de mai sus a explicat — într — un mod simplificat-cum un matematician și-ar putea slăbi presupunerile în fața contraexemplelor, dar contraexemple pot fi folosite și pentru a demonstra necesitatea anumitor ipoteze și ipoteze., De exemplu, să presupunem că, după un timp, matematicianul de mai sus s-a stabilit pe noua conjectură „toate formele care sunt dreptunghiuri și au patru laturi de lungime egală sunt pătrate”. Această presupunere are două părți ale ipotezei: forma trebuie să fie „un dreptunghi” și trebuie să aibă „patru laturi de lungime egală”. Matematicianul ar dori apoi să știe dacă poate elimina fie presupunerea, și să mențină în continuare adevărul conjecturii ei. Aceasta înseamnă că trebuie să verifice adevărul următoarelor două afirmații:
- ” toate formele care sunt dreptunghiuri sunt pătrate.,”
- „toate formele care au patru laturi de lungime egală sunt pătrate”.
un contraexemplu la (1) a fost deja dat mai sus, iar un contraexemplu la (2) este un romb non-pătrat. Astfel, matematicianul știe acum că ambele ipoteze erau într-adevăr necesare.
Alte matematice examplesEdit
Un contraexemplu la afirmația „toate numerele prime sunt numere impare” este numărul 2, deoarece este un număr prim, dar nu este un număr impar., Nici unul dintre numerele 7 sau 10 nu este un contraexemplu, deoarece nici unul dintre ele nu este suficient pentru a contrazice afirmația. În acest exemplu, 2 este de fapt singurul contraexemplu posibil al declarației, chiar dacă numai acest lucru este suficient pentru a contrazice afirmația. În mod similar, afirmația „toate numerele naturale sunt fie prime, fie compuse” are numărul 1 ca un contraexemplu, deoarece 1 nu este nici prim, nici compozit.presupunerile lui Euler despre suma puterilor au fost infirmate de contraexemplu. Acesta a afirmat că cel puțin n n-lea puteri au fost necesare pentru a rezuma la o altă putere N-lea., Această presupunere a fost respinsă în 1966, cu un contraexemplu care implică n = 5; alte N = 5 contraexemple sunt acum cunoscute, precum și unele N = 4 contraexemple.contraexemplul lui Witsenhausen arată că nu este întotdeauna adevărat (pentru problemele de control) că o funcție de pierdere pătratică și o ecuație liniară de evoluție a variabilei de stare implică legi optime de control care sunt liniare.
Alte exemple includ disproofs Seifert presupuneri, la Pólya presupunere, ipoteza lui Hilbert este al xiv-problemă, Tait este o ipoteză, și Ganea presupuneri.