en mathématiques, les contre-exemples sont souvent utilisés pour prouver les limites des théorèmes possibles. En utilisant des contre-exemples pour montrer que certaines conjectures sont fausses, les chercheurs en mathématiques peuvent alors éviter de descendre dans les allées aveugles et apprendre à modifier les conjectures pour produire des théorèmes prouvables. On dit parfois que le développement mathématique consiste principalement à trouver (et à prouver) des théorèmes et des contre-exemples.
Rectangle exampleEdit
supposons qu’un mathématicien étudie la géométrie et les formes, et qu’il souhaite prouver certains théorèmes à leur sujet., Elle conjecture que « tous les rectangles sont des carrés », et elle est intéressée à savoir si cette affirmation est vraie ou fausse.
dans ce cas, elle peut soit tenter de prouver la véracité de la déclaration en utilisant un raisonnement déductif, soit tenter de trouver un contre-exemple de la déclaration si elle soupçonne qu’elle est fausse. Dans ce dernier cas, un contre-exemple serait un rectangle qui n’est pas un carré, tel qu’un rectangle avec deux côtés de longueur 5 et deux côtés de longueur 7. Cependant, bien qu’elle ait trouvé des rectangles qui n’étaient pas des carrés, tous les rectangles qu’elle a trouvés avaient quatre côtés., Elle fait ensuite la nouvelle conjecture « tous les rectangles ont quatre côtés ». C’est logiquement plus faible que sa conjecture originale, puisque chaque carré a quatre côtés, mais toutes les formes à quatre côtés ne sont pas un carré.
L’exemple ci — dessus explique — de manière simplifiée-comment un mathématicien peut affaiblir sa conjecture face aux contre-exemples, mais les contre-exemples peuvent également être utilisés pour démontrer la nécessité de certaines hypothèses et hypothèses., Par exemple, supposons qu’après un certain temps, le mathématicien ci-dessus s’est fixé sur la nouvelle conjecture « toutes les formes qui sont des rectangles et ont quatre côtés de longueur égale sont des carrés ». Cette conjecture comporte deux parties à l’hypothèse: la forme doit être « un rectangle » et doit avoir « quatre côtés de longueur égale ». La mathématicienne aimerait alors savoir si elle peut supprimer l’une ou l’autre hypothèse et maintenir la vérité de sa conjecture. Cela signifie qu’elle doit vérifier la vérité des deux déclarations suivantes:
- « toutes les formes qui sont des rectangles sont des carrés., »
- « toutes les formes qui ont quatre côtés de longueur égale sont des carrés ».
un contre-exemple à (1) a déjà été donné ci-dessus, et un contre-exemple à (2) est un losange non carré. Ainsi, le mathématicien sait maintenant que les deux hypothèses étaient en effet nécessaires.
autres exemples mathématiquesmodifier
un contre-exemple à la déclaration « tous les nombres premiers sont des nombres impairs » est le nombre 2, car c’est un nombre premier mais n’est pas un nombre impair., Aucun des nombres 7 ou 10 n’est un contre-exemple, car aucun d’eux ne suffit à contredire l’énoncé. Dans cet exemple, 2 est en fait le seul contre-exemple à la déclaration, même si cela seul suffit à contredire la déclaration. De la même manière, l’énoncé « tous les nombres naturels sont premiers ou composites » a le nombre 1 comme contre-exemple, car 1 n’est ni premier ni composite.
la conjecture de la somme des puissances d’Euler a été réfutée par un contre-exemple. Il a affirmé qu’au moins n nième puissance était nécessaire pour additionner à une autre nième puissance., Cette conjecture a été réfutée en 1966, avec un contre-exemple impliquant n = 5; d’autres contre-exemples n = 5 sont maintenant connus, ainsi que certains contre-exemples n = 4.
le contre-exemple de Witsenhausen montre qu’il n’est pas toujours vrai (pour les problèmes de contrôle) qu’une fonction de perte quadratique et une équation linéaire d’évolution de la variable d’état impliquent des lois de contrôle optimales qui sont linéaires.
d’autres exemples incluent les réfutations de la conjecture de Seifert, la conjecture de Pólya, la conjecture du quatorzième problème de Hilbert, la conjecture de Tait et la conjecture de Ganea.