In matematica, i controesempi sono spesso usati per dimostrare i confini dei possibili teoremi. Usando i controesempi per dimostrare che certe congetture sono false, i ricercatori matematici possono quindi evitare di scendere nei vicoli ciechi e imparare a modificare le congetture per produrre teoremi dimostrabili. A volte si dice che lo sviluppo matematico consiste principalmente nel trovare (e dimostrare) teoremi e controesempi.
Esempio di rettangolomodifica
Supponiamo che un matematico stia studiando la geometria e le forme e desideri dimostrare determinati teoremi su di esse., Congettura che “Tutti i rettangoli sono quadrati”, ed è interessata a sapere se questa affermazione è vera o falsa.
In questo caso, può tentare di dimostrare la verità della dichiarazione usando il ragionamento deduttivo, oppure può tentare di trovare un controesempio della dichiarazione se sospetta che sia falsa. In quest’ultimo caso, un controesempio sarebbe un rettangolo che non è un quadrato, come un rettangolo con due lati di lunghezza 5 e due lati di lunghezza 7. Tuttavia, pur avendo trovato rettangoli che non erano quadrati, tutti i rettangoli che ha trovato avevano quattro lati., Quindi fa la nuova congettura “Tutti i rettangoli hanno quattro lati”. Questo è logicamente più debole della sua congettura originale, poiché ogni quadrato ha quattro lati, ma non ogni forma a quattro lati è un quadrato.
L’esempio precedente spiegava — in modo semplificato — come un matematico potrebbe indebolire la sua congettura di fronte ai controesempi, ma i controesempi possono anche essere usati per dimostrare la necessità di determinate ipotesi e ipotesi., Ad esempio, supponiamo che dopo un po’, il matematico sopra si sia stabilito sulla nuova congettura “Tutte le forme che sono rettangoli e hanno quattro lati di uguale lunghezza sono quadrati”. Questa congettura ha due parti per l’ipotesi: la forma deve essere ‘un rettangolo’ e deve avere ‘quattro lati di uguale lunghezza’. Il matematico vorrebbe quindi sapere se può rimuovere entrambe le ipotesi e mantenere ancora la verità della sua congettura. Ciò significa che ha bisogno di verificare la verità delle seguenti due affermazioni:
- “Tutte le forme che sono rettangoli sono quadrati.,”
- “Tutte le forme che hanno quattro lati di uguale lunghezza sono quadrati”.
Un controesempio a (1) era già stato dato sopra, e un controesempio a (2) è un rombo non quadrato. Quindi, il matematico ora sa che entrambe le ipotesi erano davvero necessarie.
Altri esempi matematicimodifica
Un controesempio all’istruzione “tutti i numeri primi sono numeri dispari” è il numero 2, in quanto è un numero primo ma non è un numero dispari., Nessuno dei numeri 7 o 10 è un controesempio, poiché nessuno dei due è sufficiente per contraddire l’affermazione. In questo esempio, 2 è infatti l’unico controesempio possibile all’istruzione, anche se questo da solo è sufficiente per contraddire l’istruzione. In modo simile, l’affermazione “Tutti i numeri naturali sono primi o compositi” ha il numero 1 come controesempio, poiché 1 non è né primo né composito.
La congettura della somma delle potenze di Eulero fu confutata dal controesempio. Ha affermato che almeno n nth poteri erano necessari per sommare ad un altro potere nth., Questa congettura è stata smentita nel 1966, con un controesempio che coinvolge n = 5; altri controesempi n = 5 sono ora noti, così come alcuni controesempi n = 4.
Il controesempio di Witsenhausen mostra che non è sempre vero (per problemi di controllo) che una funzione di perdita quadratica e un’equazione lineare di evoluzione della variabile di stato implichino leggi di controllo ottimali che sono lineari.
Altri esempi includono i disproofs della congettura di Seifert, la congettura di Pólya, la congettura del quattordicesimo problema di Hilbert, la congettura di Tait e la congettura di Ganea.