Contraejemplo

en matemáticas, los contraejemplos se utilizan a menudo para probar los límites de posibles teoremas. Mediante el uso de contraejemplos para mostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden evitar ir por callejones ciegos y aprender a modificar conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y probar) teoremas y contraejemplos.

ejemplo de Rectánguloeditar

supongamos que un matemático está estudiando Geometría y formas, y desea probar ciertos teoremas sobre ellas., Ella conjetura que «todos los rectángulos son cuadrados», y está interesada en saber si esta afirmación es verdadera o falsa.

en este caso, puede intentar probar la verdad de la declaración usando razonamiento deductivo, o puede intentar encontrar un contraejemplo de la declaración si sospecha que es falsa. En el último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no es un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos lados de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no eran cuadrados, todos los rectángulos que encontró tenían cuatro lados., Luego hace la nueva conjetura «todos los rectángulos tienen cuatro lados». Esto es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que cada cuadrado tiene cuatro lados, pero no cada forma de cuatro lados es un cuadrado.

el ejemplo anterior explicaba-de una manera simplificada-cómo un matemático podría debilitar su conjetura frente a los contraejemplos, pero los contraejemplos también se pueden usar para demostrar la necesidad de ciertas suposiciones e hipótesis., Por ejemplo, supongamos que después de un tiempo, el matemático anterior se estableció en la nueva conjetura «todas las formas que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados». Esta conjetura tiene dos partes a la hipótesis: la forma debe ser ‘un rectángulo’ y debe tener ‘cuatro lados de igual longitud’. El matemático entonces le gustaría saber si ella puede eliminar cualquiera de las suposiciones, y todavía mantener la verdad de su conjetura. Esto significa que necesita verificar la verdad de las siguientes dos afirmaciones:

  1. » Todas las formas que son rectángulos son cuadrados.,»
  2. «Todas las formas que tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados».

un contraejemplo a (1) ya fue dado arriba, y un contraejemplo a (2) es un rombo no cuadrado. Por lo tanto, el matemático ahora sabe que ambas suposiciones eran de hecho necesarias.

otros ejemplos matemáticoseditar

ver también: contraejemplos en Topología y contraejemplo mínimo

un contraejemplo a la declaración «todos los números primos son números Impares» es el número 2, ya que es un número primo pero no es un número impar., Ninguno de los números 7 o 10 es un contraejemplo, ya que ninguno de ellos es suficiente para contradecir la declaración. En este ejemplo, 2 es de hecho el único contraejemplo posible a la declaración, aunque eso por sí solo es suficiente para contradecir la declaración. De manera similar, la declaración «todos los números naturales son primos o compuestos» tiene el número 1 como un contraejemplo, ya que 1 no es ni primo Ni compuesto.

la conjetura de la suma de poderes de Euler fue refutada por el contraejemplo. Afirmó que al menos n enésimas potencias eran necesarias para sumar a otra enésima potencia., Esta conjetura fue refutada en 1966, con un contraejemplo que involucraba n = 5; Ahora se conocen otros contraejemplos n = 5, así como algunos contraejemplos n = 4.

El contraejemplo de Witsenhausen muestra que no siempre es cierto (para problemas de control) que una función de pérdida cuadrática y una ecuación lineal de evolución de la variable de estado implican leyes de control óptimas que son lineales.

otros ejemplos incluyen las refutaciones de la conjetura de Seifert, la conjetura de Pólya, la conjetura del decimocuarto problema de Hilbert, la conjetura de Tait y la conjetura de Ganea.

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