Biografía

Euclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad mejor conocido por su Tratado sobre matemáticas los elementos. La naturaleza duradera de los elementos debe hacer de Euclides el principal profesor de matemáticas de todos los tiempos. Sin embargo, poco se sabe de la vida de Euclides, excepto que enseñó en Alejandría en Egipto., Proclo, el último gran filósofo griego, que vivió alrededor del año 450 DC escribió (véase o o muchas otras fuentes):-

no mucho más joven que estos es Euclides, que puso juntos los «elementos», ordenando muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos de Teeteto, y también trayendo a la demostración irrefutable las cosas que habían sido probadas solo vagamente por sus predecesores., Este hombre vivió en la época del primer Ptolomeo; porque Arquímedes, que siguió de cerca al primer Ptolomeo hace mención de Euclides, y además dicen que Ptolomeo le preguntó una vez si había una forma corta de estudiar la geometría que los elementos, a lo que respondió que no había un camino real a la geometría. Por lo tanto, es más joven que el círculo de Platón, pero más antiguo que Eratóstenes y Arquímedes; porque estos fueron contemporáneos, como Eratóstenes dice en algún lugar., En su objetivo era un Platonista, siendo en simpatía con esta filosofía, de donde hizo el final de todos los «elementos» la construcción de las llamadas figuras platónicas.

hay otra información sobre Euclides dada por ciertos autores, pero no se cree que sea confiable. Existen dos tipos diferentes de esta información adicional. El primer tipo de información adicional es la dada por los autores árabes que afirman que Euclides era el Hijo de Naucrates y que nació en Tiro., Se cree por los historiadores de las matemáticas que esto es completamente ficticio y fue simplemente inventado por los autores.el segundo tipo de información es que Euclides nació en Megara. Esto se debe a un error por parte de los autores que primero dieron esta información. De hecho, había un Euclides de Megara, que era un filósofo que vivió unos 100 años antes que el matemático Euclides de Alejandría. No es una coincidencia que pudiera parecer que había dos hombres eruditos llamados Euclides., De hecho Euclides era un nombre muy común alrededor de este período y esta es una complicación adicional que hace que sea difícil descubrir información relativa a Euclides de Alejandría, ya que hay referencias a numerosos hombres llamados Euclides en la literatura de este período.volviendo a la cita de Proclo dada anteriormente, el primer punto a hacer es que no hay nada inconsistente en la datación dada., Sin embargo, aunque no sabemos con certeza exactamente a qué referencia a Euclides en la obra de Arquímedes Proclo se refiere, en lo que ha llegado a nosotros solo hay una referencia a Euclides y esto ocurre en la esfera y el cilindro. La conclusión obvia, por lo tanto, es que todo está bien con el argumento de Proclus y esto fue asumido hasta impugnado por Hjelmslev en . Argumentó que la referencia a Euclides se añadió al libro de Arquímedes en una etapa posterior, y de hecho es una referencia bastante sorprendente., No era la tradición de la época dar tales referencias, además hay muchos otros lugares en Arquímedes donde sería apropiado referirse a Euclides y no hay tal referencia. A pesar de las afirmaciones de Hjelmslev de que el pasaje se ha añadido más tarde, Bulmer-Thomas escribe en :-

aunque ya no es posible confiar en esta referencia, una consideración general de las obras de Euclides … todavía muestra que debe haber escrito después de tales alumnos de Platón como Eudoxo y antes de Arquímedes.,

para más información sobre la datación de Euclides, ver por ejemplo . Esto está lejos de ser el fin de los argumentos sobre Euclides el matemático. La situación se resume mejor por Itard que da tres hipótesis posibles.

vale la pena señalar que Itard, que acepta las afirmaciones de Hjelmslev de que el pasaje sobre Euclides se agregó a Arquímedes, favorece la segunda de las tres posibilidades que enumeramos anteriormente. Sin embargo, deberíamos hacer algunos comentarios sobre las tres posibilidades que, es justo decir, resumen bastante bien todas las teorías actuales posibles.,hay una fuerte evidencia para aceptar (i). Fue aceptado sin lugar a dudas por todos durante más de 2000 años y hay poca evidencia que sea inconsistente con esta hipótesis. Es cierto que hay diferencias de estilo entre algunos de los libros de los elementos, pero muchos autores varían su estilo. Una vez más el hecho de que Euclides, sin duda, basado en los elementos de obras anteriores significa que sería bastante notable si no queda rastro del estilo del autor original.,
incluso si aceptamos (i) entonces hay pocas dudas de que Euclides construyó una vigorosa escuela de matemáticas en Alejandría. Por lo tanto, habría tenido algún capaz de alumnos que puede haber ayudado a cabo en la escritura de los libros. Sin embargo hipótesis (II) va mucho más allá de esto y sugeriría que diferentes libros fueron escritos por diferentes matemáticos. Aparte de las diferencias de estilo mencionadas anteriormente, hay poca evidencia directa de esto.,
Aunque a primera vista (iii) podría parecer la más fantasiosa de las tres sugerencias, sin embargo, el ejemplo del siglo 20 de Bourbaki muestra que está lejos de ser imposible. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley y Alexander Grothendieck escribieron colectivamente bajo el nombre de Bourbaki y Eléments de mathématiques de Bourbaki contiene más de 30 volúmenes., Por supuesto, si (iii) eran la hipótesis correcta entonces Apolonio, que estudió con los alumnos de Euclides en Alejandría, debe haber sabido que no había ninguna persona ‘Euclides’, pero el hecho de que escribió:-

…. Euclides no trabajó las síntesis del locus con respecto a tres y cuatro líneas, sino solo una porción aleatoria de ella …

ciertamente no prueba que Euclides fuera un personaje histórico ya que hay muchas referencias similares a Bourbaki por matemáticos que sabían perfectamente que Bourbaki era ficticio., Sin embargo, los matemáticos que componen el equipo de Bourbaki son todos bien conocidos en su propio derecho y este puede ser el mayor argumento contra la hipótesis (iii) en que el ‘equipo de Euclides’ tendría que haber consistido en destacados matemáticos. Entonces, ¿quiénes eran?asumiremos en este artículo que la hipótesis (i) es cierta, pero, al no tener conocimiento de Euclides, debemos concentrarnos en sus obras después de hacer algunos comentarios sobre posibles eventos históricos. Euclides debe haber estudiado en la Academia de Platón en Atenas para haber aprendido de la geometría de Eudoxo y Teeteto de la que estaba tan familiarizado.,
ninguna de las obras de Euclides tienen un prefacio, al menos ninguno ha llegado a nosotros por lo que es muy poco probable que alguna vez existió, por lo que no podemos ver ninguno de su carácter, como podemos de algunos otros matemáticos griegos, de la naturaleza de sus prefacios. Pappus escribe (Véase, por ejemplo) que Euclid era:-

… más justo y bien dispuesto hacia todos los que fueron capaces en cualquier medida para avanzar en las matemáticas, cuidado de ninguna manera para dar ofensa, y aunque un erudito exacto no se jactaba de sí mismo.,

algunos afirman que estas palabras han sido añadidas a Pappus, y ciertamente el punto del pasaje (en una continuación que no hemos citado) es hablar duramente (y casi seguramente injustamente) de Apolonio. La imagen de Euclides dibujado por Pappus es, sin embargo, sin duda en línea con la evidencia de sus textos matemáticos. Otra historia contada por Stobaeus es la siguiente: –

… alguien que había comenzado a aprender geometría con Euclides, cuando había aprendido el primer teorema, le preguntó a Euclides » ¿qué obtendré aprendiendo estas cosas?, Euclides llamó a su esclavo y le dijo: «Dale tres peniques ya que debe sacar provecho de lo que aprende».

la obra más famosa de Euclides es su Tratado sobre matemáticas los elementos. El libro fue una recopilación de conocimientos que se convirtió en el Centro de la enseñanza matemática para 2000 años. Probablemente no hay resultados en los elementos fueron probados por primera vez por Euclides, pero la organización del material y su exposición son sin duda debido a él., De hecho, hay amplia evidencia de que Euclides está utilizando libros de texto anteriores, ya que escribe los elementos, ya que introduce un buen número de definiciones que nunca se utilizan, como la de un oblongo, un rombo, y un romboide.

Los elementos comienza con definiciones y cinco postulados. Los tres primeros postulados son postulados de construcción, por ejemplo, el primer postulado establece que es posible dibujar una línea recta entre dos puntos cualesquiera., Estos postulados también asumen implícitamente la existencia de puntos, líneas y círculos y luego la existencia de otros objetos geométricos se deducen del hecho de que existen. Hay otros supuestos en los postulados que no son explícitos. Por ejemplo, se supone que hay una línea única que une dos puntos cualesquiera. Del mismo modo los postulados dos y tres, al producir líneas rectas y dibujar círculos, respectivamente, asumen la singularidad de los objetos cuya posibilidad de construcción se está postulando.
los postulados cuarto y quinto son de una naturaleza diferente., El postulado cuatro establece que todos los ángulos rectos son iguales. Esto puede parecer «obvio», pero en realidad supone que el espacio en homogéneo – con esto queremos decir que una figura será independiente de la posición en el espacio en el que se coloca. El famoso quinto, o paralelo, postulado establece que una y solo una línea puede ser dibujada a través de un punto paralelo a una línea dada. La decisión de Euclides de hacer de este un postulado llevó a la geometría euclidiana. No fue hasta el siglo 19 que este postulado fue abandonado y las geometrías no euclidianas fueron estudiadas.también hay axiomas que Euclides llama «nociones comunes»., Estas no son propiedades geométricas específicas, sino suposiciones generales que permiten a las matemáticas proceder como una ciencia deductiva. Por ejemplo: –

las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.

Zenón de Sidón, unos 250 años después de que Euclides escribiera los elementos, parece haber sido el PRIMERO en demostrar que las proposiciones de Euclides no se deducían de los postulados y axiomas solos, y Euclides hace otras suposiciones sutiles.los elementos se divide en 13 libros. Los libros uno a seis tratan de geometría plana., En particular, los libros uno y dos establecen las propiedades básicas de triángulos, paralelos, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. Libro tres estudios propiedades del círculo, mientras que el libro cuatro se ocupa de los problemas acerca de los círculos y se piensa en gran medida para establecer el trabajo de los seguidores de Pitágoras. El libro cinco expone el trabajo de Eudoxo en proporción aplicada a magnitudes conmensurables e inconmensurables. Heath dice: –

las matemáticas griegas no pueden presumir de un descubrimiento más fino que esta teoría, que puso sobre una base sólida tanto de la geometría como dependía del uso de la proporción.,

el libro seis analiza las aplicaciones de los resultados del libro cinco a la geometría plana.
Los libros siete a nueve tratan de la teoría de números. En particular, el libro Siete es una introducción autónoma a la teoría de números y contiene el algoritmo euclidiano para encontrar el mayor divisor común de dos números. Libro ocho mira los números en la progresión geométrica, pero van der Waerden escribe en que contiene: –

… enunciados engorrosos, repeticiones innecesarias e incluso falacias lógicas., Al parecer, la exposición de Euclides sobresalió solo en aquellas partes en las que tenía excelentes fuentes a su disposición.

el libro Diez trata de la teoría de los números irracionales y es principalmente el trabajo de Teeteto. Euclides cambió las pruebas de varios teoremas en este libro para que se ajustaran a la nueva definición de proporción dada por Eudoxo.
Los libros once a trece tratan de la geometría tridimensional. En el libro once se dan las definiciones básicas necesarias para los tres libros juntos., Los teoremas siguen un patrón bastante similar a los análogos bidimensionales previamente dados en los libros uno y cuatro. Los principales resultados del libro Doce son que los círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros y que las esferas son el uno al otro como los cubos de sus diámetros. Estos resultados son sin duda debido a Eudoxus. Euclides prueba estos teoremas usando el» método de agotamiento » inventado por Eudoxo. Los elementos termina con el libro trece que discute las propiedades de los cinco poliedros regulares y da una prueba de que hay precisamente cinco., Este libro parece estar basado en gran medida en un tratado anterior de Teeteto.
Elementos de Euclides es notable por la claridad con la que los teoremas se establecen y se demuestra. El estándar de rigor se convertiría en un objetivo para los inventores del cálculo siglos más tarde. Como escribe Heath en: –

este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que de hecho son lo suficientemente leves cuando se tiene en cuenta la fecha en que apareció, es y seguirá siendo sin duda el mayor libro de matemáticas de todos los tiempos. …, Incluso en la época griega, los matemáticos más consumados se ocuparon de ella: Heron, Pappus, Porphyry, Proclus y Simplicius escribieron comentarios; Theon de Alejandría lo reeditó, alterando el lenguaje aquí y allá, principalmente con vistas a una mayor claridad y consistencia…

es una historia fascinante cómo los elementos han sobrevivido desde el tiempo de Euclides y esto es contado bien por Fowler en ., Describe el material más antiguo relacionado con los elementos que ha sobrevivido:-

nuestro primer vistazo del material euclidiano será el más notable durante mil años, seis ostracas fragmentarias que contienen texto y una figura … encontrado en la isla Elefantina en 1906/07 y 1907/08… Estos textos son tempranos, aunque todavía más de 100 años después de la muerte de Platón( están fechados por motivos paleográficos al tercer cuarto del siglo III A. C.); avanzados (tratan de los Resultados encontrados en los «elementos» …, en el pentágono, hexágono, decágono e icosaedro); y no siguen el texto de los elementos. … Así que dan evidencia de alguien en el siglo III aC, ubicado a más de 500 millas al sur de Alejandría, trabajando a través de este material difícil… esto puede ser un intento de entender las matemáticas, y no una copia servil …

el siguiente fragmento que tenemos data de 75 – 125 DC y de nuevo parece ser notas de alguien tratando de entender el material de los elementos.,
Se han publicado más de mil ediciones de los elementos desde que se imprimió por primera vez en 1482. Heath discute muchas de las ediciones y describe los cambios probables en el texto a lo largo de los años.
b l van der Waerden evalúa la importancia de los elementos en :-

casi desde el momento de su escritura y durando casi hasta el presente, los elementos han ejercido una influencia continua y mayor en los asuntos humanos. Fue la principal fuente de razonamiento geométrico, teoremas y métodos al menos hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana en el siglo XIX., A veces se dice que, junto a la Biblia, los «elementos» pueden ser los más traducidos, publicados y estudiados de todos los libros producidos en el mundo occidental.,

Euclides también escribió los siguientes libros que han sobrevivido: Data (con 94 proposiciones), que mira qué propiedades de las figuras se pueden deducir cuando se dan otras propiedades; on Divisions que mira las construcciones para dividir una figura en dos partes con áreas de relación dada; Optics que es el primer trabajo Griego sobre perspectiva; y Phaenomena que es una introducción elemental a la astronomía matemática y da resultados sobre los tiempos en que las estrellas en ciertas posiciones se elevarán y fijarán., Los siguientes libros de Euclides se han perdido: Surface Loci (dos libros), Porisms (un trabajo de tres libros con, Según Pappus, 171 teoremas y 38 lemas), Conics (cuatro libros), Book of Falacies y Elements of Music. El Libro de las falacias es descrito por Proclus: –

dado que muchas cosas parecen ajustarse a la verdad y seguir principios científicos, pero se desvían de los principios y engañan a los más superficiales, ha transmitido métodos para la comprensión clara de estos asuntos también …, El tratado en el que nos dio esta maquinaria se titula falacias, enumerando en orden los diversos tipos, ejerciendo nuestra inteligencia en cada caso por teoremas de todo tipo, poniendo lo verdadero al lado de lo falso, y combinando la refutación del error con la ilustración práctica.

Elements of Music es una obra que Proclus atribuye a Euclides. Tenemos dos tratados sobre la música que han sobrevivido, y Han por algunos autores atribuidos a Euclides, pero ahora se piensa que no son el trabajo sobre la música a la que se refiere Proclus.,
Euclides puede no haber sido un matemático de primera clase, pero la naturaleza duradera de los elementos debe hacer de él el principal profesor de matemáticas de la antigüedad o tal vez de todos los tiempos. Como nota personal final permítanme añadir que mi propia introducción a las matemáticas en la escuela en la década de 1950 fue a partir de una edición de parte de los elementos de Euclides y el trabajo proporciona una base lógica para las matemáticas y el concepto de prueba que parecen carecer de matemáticas en la escuela de hoy.