Uniaxial (1D) stressEdit
σ 1 = σ y {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!},
Stress multiassiale (2D o 3D)
Una tensione di trazione equivalente o una tensione equivalente di von Mises, σ v {\displaystyle \sigma _{\text{v}}} viene utilizzata per prevedere la resa dei materiali in condizioni di carico multiassiale utilizzando i risultati di semplici prove di trazione uniassiali., ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 2 = 3 2 s i j s i j {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!,} σ dev = σ − tr ( σ ) 3 I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!} .
In questo caso, il cedimento si verifica quando lo stress equivalente, σ v {\displaystyle \sigma _{\text{v}}} , raggiunge il carico di snervamento del materiale in tensione semplice, σ y {\displaystyle \sigma _{\text{y}}} . Ad esempio, lo stato di sollecitazione di una trave di acciaio in compressione differisce dallo stato di sollecitazione di un asse di acciaio in torsione, anche se entrambi i campioni sono dello stesso materiale., In considerazione del tensore di stress, che descrive completamente lo stato di stress, questa differenza si manifesta in sei gradi di libertà, perché il tensore di stress ha sei componenti indipendenti. Pertanto, è difficile dire quale dei due esemplari è più vicino al punto di snervamento o lo ha addirittura raggiunto. Tuttavia, per mezzo del criterio di resa di von Mises, che dipende esclusivamente dal valore dello stress scalare di von Mises, cioè un grado di libertà, questo confronto è semplice: un valore di von Mises più grande implica che il materiale è più vicino al punto di snervamento.,
σ 12 = k = σ y 3 {\displaystyle \ sigma _ {12} = k = {\frac {\sigma _ {y}} {\sqrt {3}}}\,\!} .
Ciò significa che, all’inizio del rendimento, l’entità della sollecitazione di taglio in taglio puro è 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} volte inferiore alla sollecitazione di snervamento nel caso di tensione semplice. Von Mises criterio di snervamento per pura sollecitazione di taglio, espresso in tensioni principali, è
( s 1 − s 2 ) 2 + ( s 2 − s 3 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 = 2 σ y 2 {\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!,} σ 1 2-σ 1 σ 2 + σ 2 2 = 3 k 2 = σ y 2 {\displaystyle \ sigma _{1}^{2}-\sigma _ {1} \ sigma _{2}+ \ sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}
Questa equazione rappresenta un’ellisse nel piano σ 1 − σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}} .