Introduzione alle proprietà degli estimatori OLS

I modelli di regressione lineare hanno diverse applicazioni nella vita reale. In econometria, i minimi quadrati ordinari (OLS) metodo è ampiamente usato per stimare i parametri di un modello di regressione lineare. Per la validità delle stime OLS, ci sono ipotesi fatte durante l’esecuzione di modelli di regressione lineare.

A1. Il modello di regressione lineare è ” lineare nei parametri.”

A2., C’è un campionamento casuale di osservazioni.

A3. La media condizionale dovrebbe essere zero.

A4. Non c’è multi-collinearità (o collinearità perfetta).

A5. Errori sferici: c’è omoscedasticità e nessuna correlazione automatica

A6: Ipotesi facoltativa: i termini di errore dovrebbero essere normalmente distribuiti.

Queste ipotesi sono estremamente importanti perché la violazione di una qualsiasi di queste ipotesi renderebbe le stime OLS inaffidabili e errate., In particolare, una violazione comporterebbe segni errati di stime OLS, o la varianza delle stime OLS sarebbe inaffidabile, portando a intervalli di confidenza troppo ampi o troppo stretti.

Detto questo, è necessario indagare perché gli stimatori OLS e le sue ipotesi si concentrano così tanto. In questo articolo vengono discusse le proprietà del modello OLS. Innanzitutto, viene delineato il famoso Teorema di Gauss-Markov. Successivamente, viene descritta una descrizione dettagliata delle proprietà del modello OLS., Alla fine, l’articolo parla brevemente delle applicazioni delle proprietà di OLS in econometria.

Il teorema di Gauss-Markov

Il Teorema di Gauss-Markov prende il nome da Carl Friedrich Gauss e Andrey Markov.

Lasciate che il modello di regressione essere: Y={ beta }_{ j }+{ beta }_{ i }{ X }_{ i }+varepsilon

Lasciare { beta }_{ o } e { beta }_{ i } e gli stimatori OLS di { beta }_{ o }e { beta }_{ o }

In altre parole, gli stimatori OLS { beta }_{ o } e { beta }_{ i }hanno la minima varianza di tutti lineari e stimatori corretti { beta }_{ o } e { beta }_{ i }., BLUE riassume le proprietà della regressione OLS. Queste proprietà di OLS in econometria sono estremamente importanti, rendendo così gli stimatori OLS uno degli stimatori più forti e più utilizzati per parametri sconosciuti. Questo teorema dice che si dovrebbe usare gli stimatori OLS non solo perché è imparziale, ma anche perché ha una varianza minima tra la classe di tutti gli stimatori lineari e imparziali.,

Proprietà degli stimatori di regressione OLS in dettaglio

Proprietà 1: Lineare

Questa proprietà riguarda più lo stimatore piuttosto che l’equazione originale che viene stimata. Nell’ipotesi A1, l’attenzione era che la regressione lineare dovrebbe essere ” lineare nei parametri.”Tuttavia, la proprietà lineare dello stimatore OLS significa che OLS appartiene a quella classe di stimatori, che sono lineari in Y, la variabile dipendente. Si noti che gli stimatori OLS sono lineari solo rispetto alla variabile dipendente e non necessariamente rispetto alle variabili indipendenti., La proprietà lineare degli stimatori OLS non dipende solo dall’ipotesi A1 ma da tutte le ipotesi da A1 a A5.

Proprietà 2: Imparzialità

Se si guarda l’equazione di regressione, si trova un termine di errore associato all’equazione di regressione stimata. Questo rende la variabile dipendente anche casuale. Se uno stimatore utilizza la variabile dipendente, allora lo stimatore sarebbe anche un numero casuale. Pertanto, prima di descrivere cos’è l’imparzialità, è importante ricordare che la proprietà dell’imparzialità è una proprietà dello stimatore e non di alcun campione.,

L’imparzialità è una delle proprietà più desiderabili di qualsiasi stimatore. Lo stimatore dovrebbe idealmente essere uno stimatore imparziale dei veri valori di parametro / popolazione.

Considera un semplice esempio: supponiamo che ci sia una popolazione di dimensione 1000 e che tu stia prelevando campioni di 50 da questa popolazione per stimare i parametri della popolazione. Ogni volta che si prende un campione, avrà il diverso insieme di 50 osservazioni e, quindi, si stimano valori diversi di { beta }_{ o } e { beta }_{ i }., La proprietà unbiasedness del metodo OLS dice che quando estrai ripetutamente campioni di 50, dopo alcuni tentativi ripetuti, scoprirai che la media di tutti i { beta }_{ o } e { beta }_{ i } dai campioni sarà uguale ai valori effettivi (o alla popolazione) di { beta }_{ o } e { beta }_{ i }.

Matematicamente,

E(bo) = ßo

E(bi) = ßi

Qui, ‘E’ è l’operatore di aspettativa.,

In parole povere, se si estraggono diversi campioni, si continuano a registrare i valori delle stime e quindi si prende una media, si otterrà molto vicino al valore di popolazione corretto. Se il tuo stimatore è distorto, la media non sarà uguale al valore del parametro vero nella popolazione.

La proprietà di imparzialità di OLS in Econometria è il requisito minimo di base per essere soddisfatto da qualsiasi stimatore. Tuttavia, non è sufficiente per la ragione che la maggior parte delle volte nelle applicazioni di vita reale, non si avrà il lusso di estrarre campioni ripetuti., Infatti, solo un campione sarà disponibile nella maggior parte dei casi.

Proprietà 3: Best: Minimum Variance

Per prima cosa, vediamo quali sono gli stimatori efficienti. La proprietà efficiente di qualsiasi stimatore dice che lo stimatore è lo stimatore imparziale della varianza minima. Pertanto, se si prendono tutti gli stimatori imparziali del parametro di popolazione sconosciuta, lo stimatore avrà la minima varianza. Lo stimatore che ha meno varianza avrà singoli punti dati più vicini alla media., Di conseguenza, sarà più probabile che forniscano risultati migliori e accurati rispetto ad altri stimatori con varianza più elevata. In breve:

1. Se lo stimatore è imparziale ma non ha la minima varianza – non è il migliore!
2. Se lo stimatore ha la minima varianza ma è di parte – non è ancora il migliore!
3. Se lo stimatore è imparziale e ha la minima varianza, è il miglior stimatore.

Ora, parlando di OLS, gli stimatori OLS hanno la minima varianza tra la classe di tutti gli stimatori lineari imparziali., Quindi, questa proprietà della regressione OLS è meno rigorosa della proprietà efficiency. La proprietà di efficienza dice la minima varianza tra tutti gli stimatori imparziali e gli stimatori OLS hanno la minima varianza tra tutti gli stimatori lineari e imparziali.,

Solo che denota matematicamente,

Varleft( { b }_{ o } a destra) <Varleft( { b }_{ o } ast a destra)

Varleft( { b }_{ i } a destra) <Varleft( { b }_{ i }ast a destra)

Le tre proprietà del modello OLS rende stimatori OLS BLU come accennato nel teorema di Gauss-Markov.

Vale la pena dedicare del tempo alle proprietà di OLS di alcuni altri stimatori in econometria. Le proprietà di OLS descritte di seguito sono proprietà asintotiche degli stimatori OLS., Finora sono state discusse le proprietà finite del campione della regressione OLS. Queste proprietà hanno cercato di studiare il comportamento dello stimatore OLS assumendo che si possano avere diversi campioni e, quindi, diversi stimatori dello stesso parametro di popolazione sconosciuto. In breve, le proprietà erano che la media di questi stimatori in diversi campioni dovrebbe essere uguale al parametro true population (unbiasedness), o la distanza media dal valore true parameter dovrebbe essere la meno (efficiente). Tuttavia, nella vita reale, avrai spesso un solo campione., Quindi, vengono discusse le proprietà asintotiche del modello OLS, che studia come gli stimatori OLS si comportano all’aumentare della dimensione del campione. Tieni presente che la dimensione del campione dovrebbe essere grande.

Proprietà 4: Unbiasedness asintotico

Questa proprietà di OLS dice che all’aumentare della dimensione del campione, la biasedness degli stimatori OLS scompare.

Proprietà 5: Coerenza

Si dice che uno stimatore sia coerente se il suo valore si avvicina al valore effettivo del parametro (popolazione) reale all’aumentare della dimensione del campione. Uno stimatore è coerente se soddisfa due condizioni:

a., È asintoticamente imparziale

b. La sua varianza converge a 0 all’aumentare della dimensione del campione.

Entrambi questi sono validi per gli stimatori OLS e, quindi, sono stimatori coerenti. Affinché uno stimatore sia utile, la coerenza è il requisito di base minimo. Poiché ci possono essere diversi stimatori di questo tipo, viene considerata anche l’efficienza asintotica. L’efficienza asintotica è la condizione sufficiente che rende gli stimatori OLS i migliori stimatori.,

Applicazioni e come si riferisce allo studio dell’econometria

Gli stimatori OLS, a causa di tali proprietà desiderabili discusse sopra, sono ampiamente utilizzati e trovano diverse applicazioni nella vita reale.

Esempio: si consideri una banca che vuole prevedere l’esposizione di un cliente in default. La banca può prendere l’esposizione in default per essere la variabile dipendente e diverse variabili indipendenti come le caratteristiche del livello del cliente, storia di credito, tipo di prestito, mutuo, ecc., La banca può semplicemente eseguire la regressione OLS e ottenere le stime per vedere quali fattori sono importanti nel determinare l’esposizione al default di un cliente. OLS stimatori sono facili da usare e capire. Sono disponibili anche in vari pacchetti software statistici e possono essere ampiamente utilizzati.

Le regressioni OLS formano gli elementi costitutivi dell’econometria. Qualsiasi classe di econometria inizierà con l’assunzione di regressioni OLS. È una delle domande di intervista preferite per posti di lavoro e ammissioni universitarie., Sulla base degli elementi costitutivi di OLS e rilassando le ipotesi, sono emersi diversi modelli come GLM (modelli lineari generalizzati), modelli lineari generali, modelli eteroscedastici, modelli di regressione multilivello, ecc.

La ricerca in Economia e Finanza è fortemente guidata dall’econometria. OLS è l’elemento costitutivo dell’econometria. Tuttavia, nella vita reale, ci sono problemi, come la causalità inversa, che rendono OLS irrilevante o non appropriato. Tuttavia, OLS può ancora essere utilizzato per indagare i problemi che esistono nei dati trasversali., Anche se il metodo OLS non può essere utilizzato per la regressione, OLS viene utilizzato per scoprire i problemi, i problemi e le potenziali correzioni.

Conclusione

Per concludere, la regressione lineare è importante e ampiamente utilizzata e la tecnica di stima OLS è la più diffusa. In questo articolo, le proprietà degli stimatori OLS sono state discusse perché è la tecnica di stima più utilizzata. Gli stimatori OLS sono BLU (cioè sono lineari, imparziali e hanno la minima varianza tra la classe di tutti gli stimatori lineari e imparziali). In mezzo a tutto questo, non bisogna dimenticare il teorema di Gauss-Markov (cioè, gli stimatori del modello OLS sono BLU) vale solo se le ipotesi di OLS sono soddisfatte. Ogni ipotesi che viene fatta durante lo studio OLS aggiunge restrizioni al modello, ma allo stesso tempo, consente anche di fare affermazioni più forti riguardo OLS. Quindi, ogni volta che si prevede di utilizzare un modello di regressione lineare utilizzando OLS, verificare sempre le ipotesi OLS. Se le ipotesi OLS sono soddisfatte, allora la vita diventa più semplice, perché puoi usare direttamente OLS per i migliori risultati-grazie al teorema di Gauss-Markov!

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