Biografia

Euclide di Alessandria è il matematico più importante dell’antichità meglio conosciuto per il suo trattato sulla matematica degli elementi. La natura duratura degli Elementi deve rendere Euclide il principale insegnante di matematica di tutti i tempi. Tuttavia poco si sa della vita di Euclide, tranne che ha insegnato ad Alessandria d’Egitto., Proclo, l’ultimo grande filosofo greco vissuto intorno al 450 ANNUNCIO scritto (oppure o di molte altre fonti):-

Non molto più giovane di questi è di Euclide, che ha messo insieme gli “Elementi”, disponendo in ordine, molti di Eudosso del teoremi di perfezionamento molti di Theaetetus, e anche portare alla inconfutabile dimostrazione di cose che erano state solo vagamente dimostrato dai suoi predecessori., Quest’uomo ha vissuto nel tempo del primo Tolomeo, per Archimede, che ha seguito da vicino il primo Tolomeo fa menzione di Euclide, e inoltre si dice che Tolomeo una volta gli ha chiesto se ci fosse un modo corto per studiare la geometria rispetto agli elementi, a cui ha risposto che non vi era alcuna strada reale per la geometria. Egli è quindi più giovane di Platone cerchio, ma più vecchio di Eratostene e Archimede; per questi erano contemporanei, come Eratostene dice da qualche parte., Nel suo scopo era un platonista, essendo in simpatia con questa filosofia, da cui ha fatto la fine di tutti gli “Elementi” la costruzione delle cosiddette figure platoniche.

Ci sono altre informazioni su Euclide fornite da alcuni autori, ma non si pensa che siano affidabili. Esistono due diversi tipi di queste informazioni aggiuntive. Il primo tipo di informazioni extra è quella data da autori arabi che affermano che Euclide era il figlio di Naucrate e che è nato a Tiro., Si ritiene dagli storici della matematica che questo sia del tutto fittizio ed è stato semplicemente inventato dagli autori.
Il secondo tipo di informazioni è che Euclide è nato a Megara. Ciò è dovuto a un errore da parte degli autori che per primi hanno dato queste informazioni. In realtà c’era un Euclide di Megara, che era un filosofo che visse circa 100 anni prima del matematico Euclide di Alessandria. Non è proprio la coincidenza che potrebbe sembrare che ci sono stati due uomini dotti chiamati Euclide., In realtà Euclide era un nome molto comune intorno a questo periodo e questa è un’ulteriore complicazione che rende difficile scoprire informazioni riguardanti Euclide di Alessandria poiché ci sono riferimenti a numerosi uomini chiamati Euclide nella letteratura di questo periodo.

Tornando alla citazione di Proclo data sopra, il primo punto da fare è che non c’è nulla di incoerente nella datazione data., Tuttavia, anche se non sappiamo con certezza a cosa si riferisca esattamente Euclide nell’opera di Archimede Proclo, in ciò che è giunto fino a noi c’è un solo riferimento a Euclide e questo avviene nella sfera e nel cilindro. La conclusione ovvia, perciò, è che tutto va bene con l’argomento di Proclo e questo è stato assunto fino contestata da Hjelmslev in . Egli ha sostenuto che il riferimento a Euclide è stato aggiunto al libro di Archimede’ in una fase successiva, e in effetti è un riferimento piuttosto sorprendente., Non era tradizione del tempo dare tali riferimenti, inoltre ci sono molti altri luoghi in Archimede dove sarebbe opportuno fare riferimento a Euclide e non esiste tale riferimento. Nonostante le affermazioni di Hjelmslev che il passaggio è stato aggiunto in seguito, Bulmer-Thomas scrive in:-

Anche se non è più possibile fare affidamento su questo riferimento, una considerazione generale delle opere di Euclide … mostra ancora che deve aver scritto dopo tali allievi di Platone come Eudosso e prima di Archimede.,

Per ulteriori discussioni sulla datazione di Euclide, vedi ad esempio . Questo è lontano dalla fine degli argomenti su Euclide il matematico. La situazione è meglio riassunta da Itard che fornisce tre possibili ipotesi.

Vale la pena notare che Itard, che accetta le affermazioni di Hjelmslev secondo cui il passaggio su Euclide è stato aggiunto ad Archimede, favorisce la seconda delle tre possibilità che abbiamo elencato sopra. Dovremmo, tuttavia, fare alcune osservazioni sulle tre possibilità che, è giusto dire, riassumono abbastanza bene tutte le possibili teorie attuali.,
Ci sono alcune prove forti per accettare (i). È stato accettato senza dubbio da tutti per oltre 2000 anni e ci sono poche prove che non sono coerenti con questa ipotesi. E ‘ vero che ci sono differenze di stile tra alcuni dei libri degli Elementi ancora molti autori variano il loro stile. Anche in questo caso il fatto che Euclide senza dubbio basato gli elementi su opere precedenti significa che sarebbe piuttosto notevole se nessuna traccia dello stile dell’autore originale è rimasto.,

Anche se accettiamo (i), allora non c’è dubbio che Euclide costruito una vigorosa scuola di matematica ad Alessandria. Avrebbe quindi avuto alcuni alunni capaci che potrebbero aver aiutato a scrivere i libri. Tuttavia ipotesi (ii) va molto oltre questo e suggerirebbe che diversi libri sono stati scritti da diversi matematici. Oltre alle differenze di stile di cui sopra, ci sono poche prove dirette di questo.,
Anche se sulla faccia di esso (iii) potrebbe sembrare il più fantasioso dei tre suggerimenti, tuttavia il 20 ° secolo esempio di Bourbaki mostra che è tutt’altro che impossibile. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley e Alexander Grothendieck hanno scritto collettivamente sotto il nome di Bourbaki e gli Eléments de mathématiques di Bourbaki contengono più di 30 volumi., Naturalmente se (iii) fosse l’ipotesi corretta allora Apollonio, che studiò con gli allievi di Euclide ad Alessandria, doveva sapere che non c’era nessuna persona ‘Euclide’ se non il fatto che scrisse:-

…. Euclide non ha elaborato le sintesi del locus rispetto a tre e quattro linee, ma solo una porzione casuale di esso …

certamente non prova che Euclide fosse un personaggio storico poiché ci sono molti riferimenti simili a Bourbaki da parte di matematici che sapevano perfettamente che Bourbaki era fittizio., Tuttavia, i matematici che hanno costituito la squadra Bourbaki sono tutti ben noti nel loro diritto e questo può essere il più grande argomento contro l’ipotesi (iii) in quanto la ‘squadra Euclide’ avrebbe dovuto consistere di matematici eccezionali. Allora, chi erano?
Assumeremo in questo articolo che l’ipotesi (i) è vero, ma, non avendo alcuna conoscenza di Euclide, dobbiamo concentrarci sulle sue opere dopo aver fatto alcuni commenti su possibili eventi storici. Euclide deve aver studiato in Platone Accademia di Atene di aver imparato la geometria di Eudosso e Theaetetus di cui era così familiare.,
Nessuna delle opere di Euclide hanno una prefazione, almeno nessuno è venuto fino a noi quindi è altamente improbabile che qualsiasi mai esistito, quindi non possiamo vedere qualsiasi del suo carattere, come possiamo di alcuni altri matematici greci, dalla natura delle loro prefazioni. Pappus scrive (vedi per esempio) che Euclide era:-

… più giusto e ben disposto verso tutti coloro che sono stati in grado in qualsiasi misura per avanzare la matematica, attento in nessun modo per dare offesa, e anche se un esatto studioso non vantarsi.,

Alcuni sostengono che queste parole sono state aggiunte a Pappus, e certamente il punto del passaggio (in una continuazione che non abbiamo citato) è quello di parlare duramente (e quasi certamente ingiustamente) di Apollonio. L’immagine di Euclide disegnata da Pappo è, tuttavia, certamente in linea con l’evidenza dei suoi testi matematici. Un’altra storia raccontata da Stobeo è la seguente:-

… qualcuno che aveva iniziato a imparare la geometria con Euclide, quando aveva imparato il primo teorema, chiese a Euclide ” Cosa otterrò imparando queste cose?,”Euclide chiamò il suo schiavo e disse:” Dategli tre penny perché deve guadagnare da ciò che impara”.

L’opera più famosa di Euclide è il suo trattato sulla matematica degli Elementi. Il libro è stato una raccolta di conoscenze che è diventato il centro di insegnamento matematico per 2000 anni. Probabilmente nessun risultato negli elementi sono stati prima dimostrato da Euclide, ma l’organizzazione del materiale e la sua esposizione sono certamente dovuti a lui., In effetti, ci sono ampie prove che Euclide sta usando libri di testo precedenti mentre scrive gli elementi poiché introduce un certo numero di definizioni che non vengono mai utilizzate come quella di un oblungo, un rombo e un romboide.
Gli elementi inizia con definizioni e cinque postulati. I primi tre postulati sono postulati di costruzione, ad esempio il primo postulato afferma che è possibile tracciare una linea retta tra due punti qualsiasi., Questi postulati implicitamente assumono anche l’esistenza di punti, linee e cerchi e quindi l’esistenza di altri oggetti geometrici sono dedotti dal fatto che questi esistono. Ci sono altre ipotesi nei postulati che non sono espliciti. Ad esempio, si presume che esista una linea unica che unisce due punti qualsiasi. Allo stesso modo postula due e tre, producendo linee rette e disegnando cerchi, rispettivamente, assumono l’unicità degli oggetti la possibilità della cui costruzione viene postulata.
Il quarto e il quinto postulato sono di natura diversa., Il postulato quattro afferma che tutti gli angoli retti sono uguali. Questo può sembrare “ovvio” ma in realtà presuppone che lo spazio sia omogeneo – con questo intendiamo che una figura sarà indipendente dalla posizione nello spazio in cui è posizionata. Il famoso quinto, o parallelo, postulato afferma che una e una sola linea può essere disegnata attraverso un punto parallelo a una data linea. La decisione di Euclide di rendere questo un postulato ha portato alla geometria euclidea. Non è stato fino al 19 ° secolo che questo postulato è stato abbandonato e sono state studiate geometrie non euclidee.
Ci sono anche assiomi che Euclide chiama ‘nozioni comuni’., Queste non sono specifiche proprietà geometriche, ma piuttosto ipotesi generali che consentono alla matematica di procedere come scienza deduttiva. Ad esempio:-

Le cose che sono uguali alla stessa cosa sono uguali tra loro.

Zenone di Sidone, circa 250 anni dopo che Euclide scrisse gli Elementi, sembra essere stato il primo a dimostrare che le proposizioni di Euclide non erano dedotte dai postulati e dagli assiomi da soli, ed Euclide fa altre supposizioni sottili.
Gli Elementi è diviso in 13 libri. I libri da uno a sei trattano la geometria piana., In particolare i libri uno e due stabiliscono le proprietà di base di triangoli, paralleli, parallelogrammi, rettangoli e quadrati. Libro tre studi proprietà del cerchio mentre il libro quattro si occupa di problemi su cerchi ed è pensato in gran parte per impostare il lavoro dei seguaci di Pitagora. Il quinto libro espone il lavoro di Eudosso sulla proporzione applicata a grandezze commensurabili e incommensurabili. Heath dice: –

La matematica greca non può vantare scoperte più fini di questa teoria, che ha messo su basi solide tanta geometria quanto dipendeva dall’uso della proporzione.,

Il libro sei esamina le applicazioni dei risultati del libro cinque alla geometria piana.
Libri da sette a nove trattare con la teoria dei numeri. In particolare il libro sette è un’introduzione autonoma alla teoria dei numeri e contiene l’algoritmo euclideo per trovare il massimo divisore comune di due numeri. Il libro otto esamina i numeri in progressione geometrica, ma van der Waerden scrive in quanto contiene:-

… enunciazioni ingombranti, ripetizioni inutili e persino errori logici., Apparentemente l’esposizione di Euclide eccelleva solo in quelle parti in cui aveva eccellenti fonti a sua disposizione.

Libro dieci si occupa della teoria dei numeri irrazionali ed è principalmente il lavoro di Theaetetus. Euclide cambiato le prove di diversi teoremi in questo libro in modo che essi montato la nuova definizione di proporzione data da Eudosso.
Libri undici a tredici si occupano di geometria tridimensionale. Nel libro undici vengono fornite le definizioni di base necessarie per i tre libri insieme., I teoremi seguono quindi un modello abbastanza simile agli analoghi bidimensionali precedentemente forniti nei libri uno e quattro. I risultati principali del libro dodici sono che i cerchi sono gli uni agli altri come i quadrati dei loro diametri e che le sfere sono gli uni agli altri come i cubi dei loro diametri. Questi risultati sono certamente dovuti a Eudoxus. Euclide dimostra questi teoremi utilizzando il “metodo di esaurimento” come inventato da Eudosso. Gli elementi si conclude con il libro tredici che discute le proprietà dei cinque poliedri regolari e dà una prova che ci sono precisamente cinque., Questo libro sembra essere basato in gran parte su un precedente trattato di Theaetetus.

Elementi di Euclide è notevole per la chiarezza con cui i teoremi sono dichiarati e dimostrato. Lo standard di rigore è stato quello di diventare un obiettivo per gli inventori del calcolo secoli più tardi. Come Heath scrive in:-

Questo meraviglioso libro, con tutte le sue imperfezioni, che sono davvero abbastanza lievi se si tiene conto della data in cui è apparso, è e rimarrà senza dubbio il più grande libro di testo matematico di tutti i tempi. …, Anche in epoca greca i matematici più compiuto si occupavano di esso: Airone, Pappo, Porfido, Proclo e Simplicio ha scritto commenti; Teone di Alessandria ri-modificato, alterando la lingua qua e là, per lo più al fine di una maggiore chiarezza e coerenza…

Si tratta di una storia affascinante come gli elementi è sopravvissuto dal tempo di Euclide e questo è detto bene da Fowler in ., Egli descrive il primo materiale relativo agli elementi che è sopravvissuto:-

Il nostro primo scorcio di materiale euclideo sarà il più notevole per mille anni, sei ostraca frammentaria contenente testo e una figura … trovato sull’isola di Elefantina nel 1906/07 e 1907/08… Questi testi sono precoci, anche se ancora più di 100 anni dopo la morte di Platone (sono datati per motivi paleografici al terzo quarto del III secolo AC); avanzati (trattano i risultati trovati negli “Elementi” …, sul pentagono, esagono, decagono e icosaedro); e non seguono il testo degli Elementi. … Quindi danno prova di qualcuno nel III secolo AC, situato a più di 500 miglia a sud di Alessandria, che lavora attraverso questo materiale difficile… questo può essere un tentativo di capire la matematica, e non una copia servile …

Il frammento successivo che abbiamo risale al 75-125 d.C. e di nuovo sembra essere note da qualcuno che cerca di capire il materiale degli Elementi.,
Più di mille edizioni degli elementi sono stati pubblicati da quando è stato stampato nel 1482. Heath discute molte delle edizioni e descrive le probabili modifiche al testo nel corso degli anni.
B L van der Waerden valuta l’importanza degli Elementi in:-

Quasi dal momento della sua scrittura e durata quasi fino ad oggi, gli Elementi ha esercitato una continua e grande influenza sugli affari umani. Era la fonte primaria di ragionamento geometrico, teoremi e metodi almeno fino all’avvento della geometria non euclidea nel 19 ° secolo., A volte si dice che, accanto alla Bibbia, gli” Elementi ” possono essere i più tradotti, pubblicati e studiati di tutti i libri prodotti nel mondo occidentale.,

Euclide scrisse anche libri che sono sopravvissuti: i Dati (con 94 proposizioni), che guarda a ciò che le proprietà delle figure può essere dedotto quando le altre proprietà sono date; Sulle Divisioni che guarda costruzioni dividere una figura in due parti, con zone di un determinato rapporto; l’Ottica che è la prima opera greca sulla prospettiva; e Phaenomena, che è un’introduzione elementare alla matematica, astronomia e dà risultati in tempi di stelle in certe posizioni sorge e tramonta., I seguenti libri di Euclide sono andati tutti perduti: Loci di superficie (due libri), Porismi (un’opera di tre libri con, secondo Pappo, 171 teoremi e 38 lemmi), Coniche (quattro libri), Libro di fallacie ed Elementi musicali. Il Libro delle Fallacie è descritto da Proclo:-

Poiché molte cose sembrano conformarsi alla verità e seguire da principi scientifici, ma fuorviare dai principi e ingannare i più superficiali, ha tramandato metodi per la comprensione chiara di queste materie anche …, Il trattato in cui ha dato questo macchinario a noi è intitolato Fallacies, enumerare in ordine i vari tipi, esercitare la nostra intelligenza in ogni caso da teoremi di ogni sorta, impostare il vero fianco a fianco con il falso, e combinando la confutazione dell’errore con illustrazione pratica.

Elements of Music è un’opera attribuita a Euclide da Proclo. Abbiamo due trattati sulla musica che sono sopravvissuti, e hanno da alcuni autori attribuiti a Euclide, ma ora si pensa che non sono il lavoro sulla musica di cui Proclo.,
Euclide non può essere stato un matematico di prima classe, ma la lunga durata natura degli elementi deve fare di lui il principale insegnante di matematica dell’antichità o forse di tutti i tempi. Come una nota personale finale mi permetta di aggiungere che la mia introduzione alla matematica a scuola nel 1950 è stato da una edizione di parte di Euclide Elementi e il lavoro fornito una base logica per la matematica e il concetto di prova che sembrano essere carenti in matematica scuola di oggi.