Geometria iperbolica

La prima descrizione della geometria iperbolica fu data nel contesto dei postulati di Euclide, e fu presto dimostrato che tutte le geometrie iperboliche differiscono solo in scala (nello stesso senso in cui le sfere differiscono solo in dimensioni). A metà del 19 ° secolo è stato dimostrato che le superfici iperboliche devono avere una curvatura negativa costante. Tuttavia, questo ha ancora lasciato aperta la questione se esiste effettivamente una superficie con geometria iperbolica.,

Nel 1868 il matematico italiano Eugenio Beltrami descrisse una superficie, chiamata pseudosfera, che ha una curvatura negativa costante. Tuttavia, la pseudosfera non è un modello completo per la geometria iperbolica, perché le linee intrinsecamente rette sulla pseudosfera possono intersecarsi e non possono essere continuate oltre il cerchio di delimitazione (nessuna delle quali è vera nella geometria iperbolica)., Nel 1901 il matematico tedesco David Hilbert dimostrò che è impossibile definire una superficie iperbolica completa usando funzioni analitiche reali (essenzialmente, funzioni che possono essere espresse in termini di formule ordinarie). A quei tempi, una superficie significava sempre una definita da funzioni analitiche reali, e così la ricerca fu abbandonata. Tuttavia, nel 1955 il matematico olandese Nicolaas Kuiper dimostrò l’esistenza di una superficie iperbolica completa, e negli anni ‘ 70 il matematico americano William Thurston descrisse la costruzione di una superficie iperbolica., Tale superficie, come mostrato nella figura, può anche essere lavorata all’uncinetto.

Nel 19 ° secolo, i matematici hanno sviluppato tre modelli di geometria iperbolica che possono ora essere interpretati come proiezioni (o mappe) della superficie iperbolica., Sebbene tutti questi modelli soffrano di qualche distorsione-simile al modo in cui le mappe piatte distorcono la Terra sferica—sono utili individualmente e in combinazione come aiutanti per comprendere la geometria iperbolica. Nel 1869-71 Beltrami e il matematico tedesco Felix Klein hanno sviluppato il primo modello completo di geometria iperbolica (e prima chiamato la geometria “iperbolica”). Nel modello di Klein-Beltrami (mostrato in figura, in alto a sinistra), la superficie iperbolica è mappata all’interno di un cerchio, con geodetiche nella superficie iperbolica corrispondenti agli accordi nel cerchio., Pertanto, il modello Klein-Beltrami conserva la “rettilineità” ma a costo di distorcere gli angoli. Intorno al 1880 il matematico francese Henri Poincaré sviluppò altri due modelli. Nel modello del disco di Poincaré (vedi figura, in alto a destra), la superficie iperbolica è mappata all’interno di un disco circolare, con geodetica iperbolica mappata ad archi circolari (o diametri) nel disco che incontrano il cerchio di delimitazione ad angolo retto., Nel modello del semipiano superiore di Poincaré (vedi figura, in basso), la superficie iperbolica viene mappata sul semipiano sopra l’asse x, con geodetiche iperboliche mappate a semicerchi (o raggi verticali) che incontrano l’asse x ad angolo retto. Entrambi i modelli di Poincaré distorcono le distanze preservando gli angoli misurati dalle linee tangenti.,

David W., Henderson Daina Taimina