A first-order ordinary differential equation in the form:

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0} M ( λ x , λ y ) = λ n M ( x , y ) and N ( λ x , λ y ) = λ n N ( x , y ) . {\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}

Thus,

M ( λ x , λ y ) N ( λ x , λ y ) = M ( x , y ) N ( x , y ) . {\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.,}

Solución methodEdit

M ( x , y ) N ( x , y ) = M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( 1 , y / x ) N ( 1 , y / x ) = f ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}

Es decir

d y D x − – f (y / x). {\displaystyle {\frac {dy} {dx}}=-f (y / x).}

Introducir el cambio de este ‘variables’ y = u x {\displaystyle y=ux} ; diferenciar el uso de la regla del producto:

d y d x = d ( u, x ) d x = x d u d x + d x d x = x d u d x + u ., {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}

Esto transforma el original de la ecuación diferencial en el separables formulario

x d y d x = − f ( u ) − u , {\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}

o

1 x d x d u = − 1 f ( u ) + u {\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}

que ahora puede ser integrado directamente: log x es igual a la antiderivada de la mano derecha (ver ecuación diferencial ordinaria).,

caso Especialeditar

una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, E, f, g son todas constantes)

( A x + b y + c ) d x + ( e x + f y + g ) d y = 0 {\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}

donde af ≠ se puede transformar en un tipo homogéneo por una transformación lineal de ambas variables ( α {\displaystyle \Alpha } y β {\displaystyle \beta } son constantes):

T = x + α ; z = y + β . {\displaystyle t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}