Introducción a las propiedades de los estimadores OLS
los modelos de regresión lineal tienen varias aplicaciones en la vida real. En econometría, el método de mínimos cuadrados ordinarios (OLS) es ampliamente utilizado para estimar los parámetros de un modelo de regresión lineal. Para la validez de las estimaciones de OLS, hay suposiciones hechas mientras se ejecutan modelos de regresión lineal.
A1. El modelo de regresión lineal es » lineal en parámetros.»
A2., Hay un muestreo aleatorio de observaciones.
A3. La media condicional debe ser cero.
A4. No hay colinealidad múltiple (o colinealidad perfecta).
A5. Errores esféricos: hay homoscedasticidad y no hay correlación automática
A6: Asunción opcional: los Términos de Error deben distribuirse normalmente.
estas suposiciones son extremadamente importantes porque la violación de cualquiera de estas suposiciones haría que las estimaciones de la operación supervivencia en el Sudán fueran poco fiables e incorrectas., Específicamente, una violación incorrectas en los signos de estimaciones OLS, o la varianza de las estimaciones OLS sería poco fiable, que conduce a los intervalos de confianza que son demasiado ancha o estrecha.
dicho esto, es necesario investigar por qué los estimadores OLS y sus supuestos se concentran tanto. En este artículo, se discuten las propiedades del modelo OLS. En primer lugar, se esboza el famoso teorema de Gauss-Markov. A continuación, se describe una descripción detallada de las propiedades del modelo OLS., Al final, el artículo habla brevemente sobre las aplicaciones de las propiedades de OLS en econometría.
El teorema de Gauss-Markov
El teorema de Gauss-Markov lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss y Andrey Markov.
Deje que el modelo de regresión será: Y={ beta }_{ o }+{ beta }_{ i }{ X }_{ i }+varepsilon
Vamos a { beta }_{ o } y { beta }_{ i } ser los estimadores de MCO de { beta }_{ o }y { beta }_{ o }
En otras palabras, los estimadores de MCO { beta }_{ o } y { beta }_{ i }tienen el mínimo de la varianza de todos lineal y objetiva de los estimadores de { beta }_{ o } y { beta }_{ i }., Azul resume las propiedades de la regresión OLS. Estas propiedades de OLS en econometría son extremadamente importantes, por lo que los estimadores OLS son uno de los estimadores más fuertes y más utilizados para parámetros desconocidos. Este teorema dice que uno debe usar estimadores OLS no solo porque es imparcial, sino también porque tiene una varianza mínima entre la clase de todos los estimadores lineales e imparciales.,
propiedades de los estimadores de regresión OLS en detalle
Propiedad 1: lineal
Esta propiedad se refiere más al estimador que a la ecuación original que se está estimando. En la suposición A1, el enfoque era que la regresión lineal debería ser » lineal en parámetros.»Sin embargo, la propiedad lineal del estimador OLS significa que OLS pertenece a esa clase de estimadores, que son lineales en Y, la variable dependiente. Tenga en cuenta que los estimadores OLS son lineales solo con respecto a la variable dependiente y no necesariamente con respecto a las variables independientes., La propiedad lineal de los estimadores OLS no depende solo de la suposición A1, sino de todas las suposiciones A1 a A5.
propiedad 2: ausencia de sesgo
si observa la ecuación de regresión, encontrará un término de error asociado con la ecuación de regresión que se estima. Esto hace que la variable dependiente también sea aleatoria. Si un estimador utiliza la variable dependiente, entonces ese estimador también sería un número aleatorio. Por lo tanto, antes de describir lo que es unbiasedness, es importante mencionar que la propiedad unbiasedness es una propiedad del estimador y no de cualquier muestra.,
La ausencia de sesgo es una de las propiedades más deseables de cualquier estimador. Idealmente, el estimador debe ser un estimador imparcial de los valores verdaderos de los parámetros / poblaciones.
considere un ejemplo simple: supongamos que hay una población de tamaño 1000, y está tomando muestras de 50 de esta población para estimar los parámetros de la población. Cada vez que tome una muestra, tendrá el conjunto diferente de 50 observaciones y, por lo tanto, estimará diferentes valores de { beta }_{ o } y { beta }_{ i }., La propiedad unbiasedness del método OLS dice que cuando usted toma muestras de 50 repetidamente, después de algunos intentos repetidos, usted encontraría que el promedio de todos los { beta} _ { o } y {beta }_{ i } de las muestras será igual a los valores reales (o la población) de { beta }_{ o } y { beta }_{ i }.
Matemáticamente,
E(bo) = ßo
E(bi) = ßi
Aquí, ‘E’ es la expectativa de operador.,
en términos sencillos, si toma varias muestras, sigue registrando los valores de las estimaciones y luego toma un promedio, se acercará mucho al valor correcto de la población. Si su estimador está sesgado, entonces el promedio no será igual al valor del parámetro verdadero en la población.
la propiedad de ausencia de ses en econometría es el requisito mínimo básico que debe satisfacer cualquier estimador. Sin embargo, no es suficiente por la razón de que la mayoría de las veces en aplicaciones de la vida real, no tendrá el lujo de tomar muestras repetidas., De hecho, solo una muestra estará disponible en la mayoría de los casos.
propiedad 3: Mejor: varianza mínima
primero, veamos qué son los estimadores eficientes. La propiedad eficiente de cualquier estimador dice que el estimador es el estimador imparcial de varianza mínima. Por lo tanto, si toma todos los estimadores imparciales del parámetro de población desconocida, el estimador tendrá la menor varianza. El estimador que tiene menos varianza tendrá puntos de datos individuales más cercanos a la media., Como resultado, será más probable que den resultados mejores y precisos que otros estimadores con mayor varianza. En resumen:
- si el estimador es imparcial pero no tiene la menor varianza – ¡no es el mejor!
- si el estimador tiene la menor varianza pero está sesgado, ¡de nuevo no es el mejor!
- si el estimador es imparcial y tiene la menor varianza, es el mejor estimador.
ahora, hablando de OLS, los estimadores OLS tienen la menor varianza entre la clase de todos los estimadores lineales no sesgados., Por lo tanto, esta propiedad de regresión OLS es menos estricta que la propiedad de eficiencia. La propiedad de eficiencia dice menor varianza entre todos los estimadores imparciales, y los estimadores OLS tienen la menor varianza entre todos los estimadores lineales e imparciales.,
simplemente denotando matemáticamente,
Varleft( { B }_{ O } right) <Varleft( { b }_{ o } AST right)
Varleft( { b }_{ i } right) <varleft( { b }_{ i }AST right)
las tres propiedades anteriores del modelo OLS hacen que los estimadores OLS sean azules como se menciona en el teorema de Gauss-Markov.
vale la pena dedicar tiempo a las propiedades de otros estimadores de OLS en econometría. Las propiedades de OLS descritas a continuación son propiedades asintóticas de los estimadores OLS., Hasta ahora, se discutieron las propiedades finitas de la muestra de regresión OLS. Estas propiedades intentaron estudiar el comportamiento del estimador OLS bajo el supuesto de que se pueden tener varias muestras y, por lo tanto, varios estimadores del mismo parámetro de población desconocido. En resumen, las propiedades eran que el promedio de estos estimadores en diferentes muestras debería ser igual al parámetro de población real (ausencia de sesgo), o la distancia promedio al valor del parámetro verdadero debería ser la menor (eficiente). Sin embargo, en la vida real, a menudo tendrá solo una muestra., Por lo tanto, se discuten las propiedades asintóticas del modelo OLS, que estudia cómo se comportan los estimadores OLS a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Tenga en cuenta que el tamaño de la muestra debe ser grande.
propiedad 4: ausencia de sesgo asintótico
esta propiedad de OLS dice que a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la sesgo de los estimadores OLS desaparece.
propiedad 5: consistencia
Se dice que un estimador es consistente si su valor se aproxima al valor real y verdadero del parámetro (población) a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Un estimador es consistente si cumple dos condiciones:
un., Es asintóticamente imparcial
b. su varianza converge a 0 a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
ambos son válidos para los estimadores OLS y, por lo tanto, son estimadores consistentes. Para que un estimador sea útil, la consistencia es el requisito básico mínimo. Dado que puede haber varios de estos estimadores, también se considera la eficiencia asintótica. La eficiencia asintótica es la condición suficiente que hace que los estimadores OLS sean los mejores estimadores.,
las aplicaciones y cómo se relaciona con el estudio de Econometría
los estimadores OLS, debido a las propiedades deseables discutidas anteriormente, son ampliamente utilizados y encuentran varias aplicaciones en la vida real.
ejemplo: considere un banco que quiere predecir la exposición de un cliente en caso de incumplimiento. El banco puede tomar la exposición al incumplimiento como la variable dependiente y varias variables independientes como las características del nivel de cliente, historial de crédito, tipo de préstamo, hipoteca, etc., El banco puede simplemente ejecutar la regresión OLS y obtener las estimaciones para ver qué factores son importantes para determinar la exposición en el incumplimiento de un cliente. Los estimadores OLS son fáciles de usar y entender. También están disponibles en varios paquetes de software estadístico y se pueden utilizar ampliamente.
las regresiones OLS forman los bloques de construcción de la econometría. Cualquier clase de econometría comenzará con la asunción de regresiones OLS. Es una de las preguntas favoritas para entrevistas de trabajo y admisiones universitarias., Sobre la base de los bloques de construcción de OLS, y relajando los supuestos, varios modelos diferentes han surgido como GLM (modelos lineales generalizados), modelos lineales Generales, Modelos heteroscedásticos, modelos de regresión multinivel, etc.
La investigación en Economía y Finanzas está altamente impulsada por la Econometría. OLS es la piedra angular de la Econometría. Sin embargo, en la vida real, hay problemas, como la causalidad inversa, que hacen que OLS sea irrelevante o no sea apropiado. Sin embargo, OLS todavía se puede utilizar para investigar los problemas que existen en los datos transversales., Incluso si el método OLS no se puede utilizar para la regresión, OLS se utiliza para averiguar los problemas, los problemas y las posibles soluciones.
conclusión
Para concluir, la regresión lineal es importante y ampliamente utilizada, y la técnica de estimación OLS es la más prevalente. En este artículo, se discutieron las propiedades de los estimadores OLS porque es la técnica de estimación más utilizada. Los estimadores OLS son azules (es decir, son lineales, imparciales y tienen la menor varianza entre la clase de todos los estimadores lineales e imparciales). En medio de todo esto, uno no debe olvidar el Teorema de Gauss-Markov (i. e., los estimadores del modelo OLS son azules) se mantienen solo si se cumplen las suposiciones de OLS. Cada suposición que se hace mientras se estudia OLS agrega restricciones al modelo, pero al mismo tiempo, también permite hacer declaraciones más fuertes con respecto a OLS. Por lo tanto, siempre que esté planeando usar un modelo de regresión lineal usando OLS, siempre verifique las suposiciones de OLS. Si las suposiciones de OLS se cumplen, entonces la vida se vuelve más simple, ya que puede usar OLS directamente para obtener los mejores resultados, ¡gracias al teorema de Gauss – Markov!
hemos respondido a todas sus preguntas? Háganos saber cómo lo estamos haciendo!,
¿busca la práctica de Econometría?
inicia tu preparación de Econometría con Albert. Comience su preparación para el examen de Econometría hoy.