geometría hiperbólica

la primera descripción de la geometría hiperbólica se dio en el contexto de los postulados de Euclides, y pronto se demostró que todas las geometrías hiperbólicas difieren solo en escala (en el mismo sentido que las esferas solo difieren en tamaño). A mediados del siglo XIX se demostró que las superficies hiperbólicas deben tener una curvatura negativa constante. Sin embargo, esto todavía dejó abierta la cuestión de si existe realmente alguna superficie con geometría hiperbólica.,

en 1868 el matemático italiano Eugenio Beltrami describió una superficie, llamada pseudosfera, que tiene una curvatura negativa constante. Sin embargo, la pseudosfera no es un modelo completo para la geometría hiperbólica, porque las líneas intrínsecamente rectas en la pseudosfera pueden intersectarse y no pueden continuar más allá del círculo delimitador (ninguno de los cuales es cierto en la geometría hiperbólica)., En 1901 el matemático alemán David Hilbert demostró que es imposible definir una superficie hiperbólica completa usando funciones analíticas reales (esencialmente, funciones que se pueden expresar en términos de fórmulas ordinarias). En aquellos días, una superficie siempre significaba una definida por funciones analíticas reales, por lo que la búsqueda se abandonó. Sin embargo, en 1955 el matemático holandés Nicolaas Kuiper demostró la existencia de una superficie hiperbólica completa, y en la década de 1970 el matemático estadounidense William Thurston describió la construcción de una superficie hiperbólica., Tal superficie, como se muestra en la figura, también se puede tejer.

en el siglo XIX, los matemáticos desarrollaron tres modelos de geometría hiperbólica que ahora pueden interpretarse como proyecciones (o mapas) de la superficie hiperbólica., Aunque todos estos modelos sufren de alguna distorsión-similar a la forma en que los mapas planos distorsionan la tierra esférica—son útiles individualmente y en combinación como ayudantes para entender la geometría hiperbólica. En 1869-71 Beltrami y el matemático alemán Felix Klein desarrollaron el primer modelo completo de geometría hiperbólica (y primero llamó a la geometría «hiperbólica»). En el modelo de Klein-Beltrami (mostrado en la figura, arriba a la izquierda), la superficie hiperbólica se asigna al interior de un círculo, con geodésicas en la superficie hiperbólica correspondientes a acordes en el círculo., Así, el modelo de Klein-Beltrami conserva la «rectitud» pero a costa de distorsionar los ángulos. Alrededor de 1880 el matemático francés Henri Poincaré desarrolló dos modelos más. En el modelo de disco de Poincaré (ver figura, arriba a la derecha), la superficie hiperbólica se asigna al interior de un disco circular, con geodésicas hiperbólicas que se asignan a arcos circulares (o diámetros) en el disco que se encuentran con el círculo delimitador en ángulos rectos., En el modelo de medio plano superior de Poincaré (ver figura, abajo), la superficie hiperbólica se mapea en el medio plano por encima del eje x, con geodésicas hiperbólicas mapeadas a semicírculos (o rayos verticales) que se encuentran con el eje x en ángulos rectos. Ambos modelos de Poincaré distorsionan las distancias mientras preservan los ángulos medidos por líneas tangentes.,

David W., Henderson Canción Tiamina