ordinul întâi ecuație diferențială ordinară în forma:

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0} M ( λ x , λ y ) = λ n M ( x , y ) și N ( λ x , λ y ) = λ n n ( x , y ) . {\displaystyle M (\lambda x, \ lambda y)=\lambda ^{N}M (x, y) \quad {\text{și}}\quad n (\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}

astfel,

M (λ X, λ Y) N ( λ X , λ Y) = M ( x , y) N ( x , y). {\displaystyle {\frac {M (\lambda x,\lambda y)}{n (\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{n(x,y)}}\,.,}

Soluție methodEdit

M ( x , y ) N ( x , y ) = M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( 1 , y / x ) N ( 1 , y / x ) = f ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x),\,.}

care este

d y d x = – f (y / x ) . {\displaystyle {\frac {u}{dx}}=-f(y/x).}

Introduce schimbarea de variabile y = u x {\displaystyle y=ux} ; diferenția folosind regula produs:

d y d x = d ( u, x ) d x = x d u d x + u x d d x = x d u d x + u ., {\displaystyle {\frac {u}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}

Aceasta transformă original ecuație diferențială în separabile forma

x d u d x = − f ( u ) − u , {\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}

sau

1 x d x d u = − 1 f ( u ) + u , {\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}

care pot fi acum integrate direct: log x este egal cu antiderivative din partea dreaptă (a se vedea ecuație diferențială ordinară).,

Speciale caseEdit

O prima comanda ecuație diferențială de forma (a, b, c, e, f, g sunt constante)

( a x + b y + c ) d x + ( e x + f y + g ) d y = 0 {\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+ab+g)dy=0\,}

în cazul în care af ≠ becan fi transformat într-un tip omogen de o transformare liniară de ambele variabile ( α {\displaystyle \alpha } și β {\displaystyle \beta } sunt constante):

t = x + α ; z = y + β . {\displaystyle t = x + \ alfa;\,\,\,\, z = y + \beta\,.}