Biografia

Euclid din Alexandria este cel mai important matematician al antichității, cel mai cunoscut pentru tratatul său de matematică Elemente. Natura de lungă durată a elementelor trebuie să facă Euclid principalul profesor de Matematică din toate timpurile. Cu toate acestea, se știe puțin despre viața lui Euclid, cu excepția faptului că a predat la Alexandria în Egipt., Proclu, ultimul mare filozof grec, care a trăit în jurul anului 450 d. hr scris (a se vedea sau sau multe alte surse):-

Nu cu mult mai tânăr decât acestea este Euclid, care a pus laolaltă „Elemente”, care se aranjează în ordinea multe de Eudoxus e teoreme, perfecționarea multe din Theaitetos, și, de asemenea, aducerea la necontestat demonstrație de lucruri care au fost doar vag s-a dovedit de către predecesorii săi., Acest om a trăit în timpul primului Ptolemeu; pentru Arhimede, care a urmat îndeaproape pe primul Ptolemeu face mențiune Euclid, și în continuare se spune că Ptolemeu l-a întrebat odată dacă există un scurtcircuit mod de a studia geometria decât Elemente, la care el a răspuns că nu există nici un drum regal de geometrie. Prin urmare, el este mai tânăr decât cercul lui Platon, dar mai vechi decât Eratostene și Arhimede; pentru că aceștia erau contemporani, așa cum spune undeva Eratostene., În scopul său a fost un Platonist, fiind în simpatie cu această filozofie, de unde a făcut sfârșitul întregului „elemente” construcția așa-numitelor figuri platonice.

există și alte informații despre Euclid date de anumiți autori, dar nu se consideră că sunt de încredere. Există două tipuri diferite de informații suplimentare. Primul tip de informații suplimentare este cel dat de autorii arabi care afirmă că Euclid era fiul lui Naucrates și că s-a născut în Tir., Se crede de către istoricii matematicii că acest lucru este în întregime fictiv și a fost doar inventat de autori.
al doilea tip de informații este că Euclid sa născut la Megara. Acest lucru se datorează unei erori din partea autorilor care au dat mai întâi aceste informații. De fapt, a existat un Euclid de Megara, care a fost un filozof care a trăit cu aproximativ 100 de ani înainte de matematicianul Euclid din Alexandria. Nu este chiar coincidența că s-ar părea că au existat doi oameni învățați numiți Euclid., De fapt, Euclid a fost un nume foarte comun în jurul acestei perioade și aceasta este o complicație suplimentară care face dificilă descoperirea informațiilor referitoare la Euclid din Alexandria, deoarece există referințe la numeroși bărbați numiți Euclid în literatura acestei perioade.

revenind la citatul de la Proclus dat mai sus, primul punct de făcut este că nu există nimic inconsistent în datarea dată., Cu toate acestea, deși nu știm cu certitudine exact la ce referire la Euclid în lucrarea lui Arhimede Proclus se referă, în ceea ce ne-a coborât, există o singură referire la Euclid și aceasta se întâmplă în pe sferă și cilindru. Concluzia evidentă, prin urmare, este că totul este bine cu argumentul Proclus și acest lucru a fost asumat până la contestată de Hjelmslev în . El a susținut că trimiterea la Euclid a fost adăugată la Cartea lui Arhimede într-o etapă ulterioară și, într-adevăr, este o referință destul de surprinzătoare., Nu a fost tradiția timpului de a da astfel de referințe, în plus, există multe alte locuri în Arhimede unde ar fi oportun să se facă referire la Euclid și nu există o astfel de referință. În ciuda hjelmslev pleda se susține că trecerea a fost adăugat mai târziu, Bulmer-Thomas scrie :-

Deși nu mai este posibil să se bazeze pe această referință, o considerație generală a lui Euclid funcționează … încă arată că trebuie să fi scris după astfel de elevi ai lui Platon ca Eudoxus și înaintea lui Arhimede.,

pentru discuții suplimentare cu privire la datare Euclid, a se vedea, de exemplu . Acest lucru este departe de a pune capăt argumentelor despre matematicianul Euclid. Situația este cel mai bine rezumată de Itard care oferă trei ipoteze posibile.

merită remarcat faptul că Itard, care acceptă afirmațiile lui Hjelmslev că pasajul despre Euclid a fost adăugat lui Arhimede, favorizează a doua dintre cele trei posibilități pe care le-am enumerat mai sus. Cu toate acestea, ar trebui să facem câteva comentarii cu privire la cele trei posibilități care, este corect să spunem, rezumă destul de bine toate teoriile actuale posibile.,
există unele dovezi puternice pentru a accepta (i). A fost acceptat fără îndoială de toată lumea de peste 2000 de ani și există puține dovezi care nu sunt în concordanță cu această ipoteză. Este adevărat că există diferențe de stil între unele dintre cărțile elementelor, dar mulți autori își variază stilul. Din nou, faptul că Euclid a bazat, fără îndoială, elementele pe lucrările anterioare înseamnă că ar fi destul de remarcabil dacă nu ar rămâne nici o urmă a stilului autorului original.,

chiar dacă acceptăm (i) atunci nu există nici o îndoială că Euclid a construit o școală viguroasă de matematică la Alexandria. Prin urmare, el ar fi avut niște elevi capabili care ar fi putut ajuta la scrierea cărților. Cu toate acestea ipoteza (ii) merge mult mai departe decât aceasta și ar sugera că diferite cărți au fost scrise de diferiți matematicieni. În afară de diferențele de stil menționate mai sus, există puține dovezi directe în acest sens.,
deși pe fața ei (iii) ar putea părea cea mai fantezistă dintre cele trei sugestii, totuși exemplul secolului 20 al lui Bourbaki arată că este departe de a fi imposibil. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley și Alexander Grothendieck a scris în mod colectiv sub numele de Bourbaki și Bourbaki este Eléments de mathématiques conține mai mult de 30 de volume., Desigur, dacă (iii) au fost corect ipoteză apoi Apollonius, care a studiat cu elevii de Euclid din Alexandria, trebuie să fi știut că nu era nici o persoană nu ‘Euclid’ dar faptul că el a scris:-

…. Euclid nu a elaborat sintezele locusului cu privire la trei și patru linii, ci doar o porțiune întâmplătoare a acestuia …

cu siguranță nu dovedește că Euclid a fost un personaj istoric, deoarece există multe trimiteri similare la Bourbaki de matematicieni care știa perfect de bine că Bourbaki fost fictive., Cu toate acestea, matematicienii care au format echipa Bourbaki sunt bine cunoscuți în sine și acesta poate fi cel mai mare argument împotriva ipotezei (iii), în care „echipa Euclid” ar fi trebuit să fie formată din matematicieni remarcabili. Deci cine erau?
vom presupune în acest articol că ipoteza (i) este adevărată, dar, neavând cunoștințe despre Euclid, trebuie să ne concentrăm asupra lucrărilor sale după ce am făcut câteva comentarii cu privire la posibile evenimente istorice. Euclid trebuie să fi studiat la Academia lui Platon din Atena pentru a fi învățat despre geometria lui Eudoxus și Theaetetus de care era atât de familiar.,
niciuna dintre lucrările lui Euclid nu are o prefață, cel puțin niciuna nu s-a coborât la noi, așa că este foarte puțin probabil ca vreuna să fi existat vreodată, așa că nu putem vedea nimic din caracterul său, așa cum putem vedea alți matematicieni greci, din natura prefețelor lor. Pappus scrie (vezi de exemplu ) că Euclid a fost:-

… cel mai corect și bine dispus față de toți cei care au fost capabili, în orice măsură, pentru a avansa matematica, atent în nici un fel de a da infracțiune, și, deși un savant exact nu se lăudăros.,

Unii susțin aceste cuvinte au fost adăugate la Pappus, și cu siguranță punctul de trecere (la o continuare pe care nu am citat) este de a vorbi aspru (și, aproape sigur, pe nedrept) de Apollonius. Imaginea lui Euclid desenată de Pappus este, totuși, cu siguranță în concordanță cu dovezile din textele sale matematice. O altă poveste spusă de Stobaeus este următoarea:-

… cineva care începuse să învețe geometria cu Euclid, când învățase prima teoremă, l-a întrebat pe Euclid: „ce să obțin învățând aceste lucruri?,”Euclid și-a sunat sclavul și a spus „Dă-i trei pence, deoarece trebuie să câștige din ceea ce învață”.

cea mai faimoasă lucrare a lui Euclid este tratatul său despre matematică elementele. Cartea a fost o compilație de cunoștințe care a devenit centrul predării matematice timp de 2000 de ani. Probabil că nici un rezultat al elementelor nu a fost dovedit pentru prima dată de Euclid, dar organizarea materialului și expunerea acestuia se datorează cu siguranță lui., De fapt, există dovezi ample că Euclid folosește manuale anterioare, deoarece el scrie elementele, deoarece introduce o serie de definiții care nu sunt niciodată folosite, cum ar fi cea a unui alungit, a unui romb și a unui romboid.
elementele încep cu definiții și cinci postulate. Primele trei postulate sunt postulate de construcție, de exemplu primul postulat afirmă că este posibilă trasarea unei linii drepte între oricare două puncte., Aceste postulate presupun implicit și existența punctelor, liniilor și cercurilor, iar apoi existența altor obiecte geometrice este dedusă din faptul că acestea există. Există și alte ipoteze în postulate care nu sunt explicite. De exemplu, se presupune că există o linie unică care unește oricare două puncte. În mod similar, postulează două și trei, pe producerea de linii drepte și cercuri de desen, respectiv, își asumă unicitatea obiectelor posibilitatea de a căror construcție este postulată.
al patrulea și al cincilea postulat au o natură diferită., Postulează patru stări că toate unghiurile drepte sunt egale. Acest lucru poate părea „evident”, dar de fapt presupune că spațiul este omogen – prin aceasta înțelegem că o figură va fi independentă de poziția din spațiul în care este plasată. Celebrul postulat al cincilea sau paralel afirmă că o singură linie poate fi trasă printr-un punct paralel cu o linie dată. Decizia lui Euclid de a face acest postulat a dus la geometria euclidiană. Abia în secolul al XIX-lea acest postulat a fost abandonat și au fost studiate geometriile non-euclidiene.

există, de asemenea, axiome pe care Euclid le numește „Noțiuni comune”., Acestea nu sunt proprietăți geometrice specifice, ci mai degrabă ipoteze generale care permit matematicii să acționeze ca știință deductivă. De exemplu:-

lucrurile care sunt egale cu același lucru sunt egale între ele.

Zenon din Sidon, aproximativ 250 de ani după Euclid scris de Elemente, pare să fi fost primul care a arătat că lui Euclid propuneri nu au fost deduse din postulatele și axiomele singur, și Euclid face alte subtil ipoteze.
elementele sunt împărțite în 13 cărți. Cărțile de la unu la șase se ocupă de geometria planului., În special, cărțile unu și doi stabilesc proprietățile de bază ale triunghiurilor, paralelelor, paralelogramelor, dreptunghiurilor și pătratelor. Rezervați trei studii proprietăți ale cercului în timp ce cartea patru se ocupă cu probleme despre cercuri și se crede în mare măsură pentru a stabili activitatea urmașilor lui Pitagora. Cartea cinci prezintă lucrarea lui Eudoxus pe proporția aplicată mărimilor comensurabile și incomensurabile. Heath spune: –

matematica greacă nu se poate lăuda cu nici o descoperire mai fină decât această teorie, care a pus pe o bază solidă atât de mult de geometrie încât depinde de utilizarea proporției.,

Book six analizează aplicațiile rezultatelor cărții cinci la geometria planului.
cărțile de la șapte la nouă se ocupă de teoria numerelor. În special, cartea șapte este o introducere autonomă în teoria numerelor și conține algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun al două numere. Cartea opt se uită la numere în progresie geometrică, dar van der Waerden scrie că conține: –

… enunțuri greoaie, repetiții inutile și chiar erori logice., Se pare că expunerea lui Euclid a excelat numai în acele părți în care avea la dispoziție surse excelente.

cartea zece se ocupă de teoria numerelor iraționale și este în principal opera Luiaetet. Euclid a schimbat dovezile mai multor teoreme din această carte, astfel încât au adaptat noua definiție a proporției dată de Eudoxus.cărțile de la unsprezece la treisprezece se ocupă de geometria tridimensională. În cartea unsprezece sunt date definițiile de bază necesare pentru cele trei cărți împreună., Teoremele urmează apoi un model destul de similar cu analogii bidimensionali dați anterior în cărțile unu și patru. Rezultatele principale ale cărții Doisprezece sunt că cercurile sunt una față de cealaltă ca pătratele diametrelor lor și că sferele sunt una față de cealaltă ca cuburile diametrelor lor. Aceste rezultate se datorează cu siguranță lui Eudoxus. Euclid dovedește aceste teoreme folosind „metoda epuizării” inventată de Eudoxus. Elementele se termină cu cartea treisprezece care discută proprietățile celor cinci poliedre obișnuite și oferă o dovadă că există exact cinci., Această carte pare să se bazeze în mare parte pe un tratat anterior al lui Theaetet.

Elementele lui Euclid sunt remarcabile pentru claritatea cu care sunt declarate și dovedite teoremele. Standardul rigorii urma să devină un obiectiv pentru inventatorii calculului secole mai târziu. Ca Heath scrie în :-

Această carte minunată, cu toate imperfecțiunile sale, care sunt într-adevăr destul de ușoară atunci când se ține cont de data la care a apărut, este și va rămâne fără îndoială cel mai mare matematice carte din toate timpurile. …, Chiar și în greacă ori mai realizat matematicieni ocupat ei înșiși cu ea: Heron, Pappus, Porfir, Proclu și Simplicius scris comentarii; Theon din Alexandria re-editate, modificarea limba aici și acolo, mai ales cu scopul de a o mai mare claritate și coerență…

este o poveste fascinantă cum elementele au supraviețuit din timpul lui Euclid și acest lucru este spus bine de Fowler în ., El descrie cele mai vechi materiale referitoare la Elementele care a supraviețuit:-

primele Noastre bucatica de Euclidiană material va fi cel mai remarcabil pentru o mie de ani, șase fragmentar ostraca conțin text și o cifră … găsit pe Insula Elephantine în 1906/07 și 1907/08… Aceste texte sunt de devreme, deși încă mai mult de 100 de ani după moartea lui Platon (acestea sunt datate pe palaeographic motive pentru cel de-al treilea sfert al secolului al iii-lea Î. hr.); avansat (se ocupă cu rezultatele găsite în „Elemente” …, pe pentagon, hexagon, decagon și icosaedru); și nu urmează textul elementelor. … Așa că dau dovadă de cineva din secolul al III-lea î.HR., Situat la mai mult de 500 de mile sud de Alexandria, care lucrează prin acest material dificil… aceasta poate fi o încercare de a înțelege matematica, și nu o copiere servilă …

următorul fragment pe care îl avem datează din 75 – 125 AD și din nou pare a fi note de cineva care încearcă să înțeleagă materialul elementelor.,
mai mult de o mie de ediții ale elementelor au fost publicate de când a fost tipărită pentru prima dată în 1482. Heath discută multe dintre ediții și descrie modificările probabile ale textului de-a lungul anilor.
B L van der Waerden evaluează importanța Elementelor în :-

Aproape de momentul de scris și de durată aproape de prezent, Elemente a exercitat o continuă și influență majoră asupra omului de afaceri. A fost sursa primară de raționament geometric, teoreme și metode cel puțin până la apariția geometriei non-euclidiene în secolul al XIX-lea., Se spune uneori că, alături de Biblie, „elementele” pot fi cele mai traduse, publicate și studiate dintre toate cărțile produse în lumea occidentală.,

Euclid, de asemenea, a scris următoarele cărți care au supraviețuit: Date (cu 94 de propuneri), care arata la ce proprietăți de cifre pot fi deduse atunci când alte proprietăți sunt date; Pe Divizii, care se uita la construcții să împartă o figură în două părți, cu zone de raport dat; Optica care este primul grec de muncă în perspectivă; și Phaenomena, care este un elementar introducere în matematică astronomie și dă rezultate pe vremuri stele în anumite poziții va răsări și va apune., Lui Euclid următoarele cărți au fost toate pierdute: Suprafata Loci (două cărți), Porisms (trei carte de munca cu, în Continuare, 171 teoreme și 38 leme), Conics (patru cărți), Carte de Sofisme și Elemente de Muzică. Cartea de Erori este descris de Proclu :-

De multe lucruri par să fie conforme cu adevărul și să urmeze de la principii științifice, dar duce în rătăcire de la principiile și înșele mai superficiale, a dat jos metodele de clar-văzători înțelegere a acestor chestiuni, de asemenea,…, Tratatul în care ne-a dat această mașinărie este intitulat Fallacies, enumerând în ordine diferitele tipuri, exercitând inteligența noastră în fiecare caz prin teoreme de tot felul, stabilind adevăratul alături de fals și combinând respingerea erorii cu ilustrarea practică.

elemente de muzică este o lucrare care este atribuită Euclid de Proclus. Avem două tratate despre muzică care au supraviețuit și au fost atribuite de unii autori lui Euclid, dar acum se crede că nu sunt lucrarea despre muzică la care se face referire de Proclus.,
Euclid poate că nu a fost un matematician de primă clasă, dar natura de lungă durată a elementelor trebuie să-l facă principalul profesor de Matematică al antichității sau poate al tuturor timpurilor. Ca o notă personală finală, permiteți-mi să adaug că propria mea introducere în matematică la școală în anii 1950 a fost dintr-o ediție a unei părți din elementele lui Euclid, iar lucrarea a oferit o bază logică pentru matematică și conceptul de dovadă care par să lipsească astăzi în matematica școlară.