geometrie hiperbolică

prima descriere a geometriei hiperbolice a fost dată în contextul postulatelor lui Euclid și s-a dovedit curând că toate geometriile hiperbolice diferă doar la scară (în același sens că sferele diferă doar ca mărime). La mijlocul secolului al XIX-lea sa demonstrat că suprafețele hiperbolice trebuie să aibă o curbură negativă constantă. Cu toate acestea, acest lucru a lăsat încă deschisă întrebarea dacă există o suprafață cu geometrie hiperbolică.,în 1868 matematicianul italian Eugenio Beltrami a descris o suprafață, numită pseudosferă, care are o curbură negativă constantă. Cu toate acestea, pseudosphere nu este un model complet pentru geometrie hiperbolica, pentru că în mod intrinsec linii drepte pe pseudosphere poate se intersectează și nu poate fi continuat trecut de încadrare cerc (nici de ceea ce este adevărat în geometrie hiperbolica)., În 1901, matematicianul German David Hilbert a demonstrat că este imposibil să se definească o suprafață hiperbolică completă folosind funcții analitice reale (în esență, funcții care pot fi exprimate în termeni de formule obișnuite). În acele zile, o suprafață însemna întotdeauna una definită de funcții analitice reale și astfel căutarea a fost abandonată. Cu toate acestea, în 1955 matematicianul olandez Nicolaas Kuiper a dovedit existența unei suprafețe hiperbolice complete, iar în anii 1970 matematicianul American William Thurston a descris construcția unei suprafețe hiperbolice., O astfel de suprafață, așa cum se arată în figură, poate fi de asemenea croșetată.

În secolul al 19-lea, matematicienii au dezvoltat trei modele geometriei hiperbolice, care acum pot fi interpretate ca proiecții (sau hărți) de suprafață hiperbolică., Deși toate aceste modele suferă de o anumită distorsiune-similar cu modul în care hărțile plate distorsionează pământul sferic—ele sunt utile individual și în combinație ca ajutoare pentru a înțelege geometria hiperbolică. În 1869-71 Beltrami și matematicianul German Felix Klein au dezvoltat primul model complet de geometrie hiperbolică (și a numit mai întâi geometria „hiperbolică”). În modelul Klein-Beltrami (prezentat în figură, stânga sus), suprafața hiperbolică este mapată în interiorul unui cerc, cu geodezice în suprafața hiperbolică corespunzătoare coardelor din cerc., Astfel, modelul Klein-Beltrami păstrează „îndreptarea”, dar cu prețul distorsionării unghiurilor. Aproximativ 1880 matematicianul francez Henri Poincaré a dezvoltat încă două modele. În modelul discului Poincaré (vezi figura, dreapta sus), suprafața hiperbolică este mapată în interiorul unui disc circular, cu cartografierea geodezică hiperbolică la arce circulare (sau diametre) din discul care întâlnește cercul de delimitare în unghi drept., În modelul semiplanului superior Poincaré (vezi figura, partea de jos), suprafața hiperbolică este mapată pe semiplanul de deasupra axei x, cu geodezice hiperbolice mapate la semicercuri (sau raze verticale) care îndeplinesc axa x în unghi drept. Ambele modele Poincaré distorsionează distanțele păstrând în același timp unghiurile măsurate prin linii tangente.,

David W., Henderson Daina Taimina