1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ (Română)

printre seriile divergente clasice, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ este relativ dificil de manipulat într-o valoare finită. Multe metode de însumare sunt folosite pentru a atribui valori numerice seriilor divergente, unele mai puternice decât altele. De exemplu, însumarea Cesàro este o metodă binecunoscută care însumează seria Grandi, seria ușor divergentă 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, la 1/2. Abel sumation este o metodă mai puternică, care nu numai că însumează seria Grandi la 1/2, dar însumează și Seria mai complicată 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ la 1/4.,

spre deosebire de seria de mai sus, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ nu este Cesàro summable sau Abel summable. Aceste metode funcționează pe serii divergente oscilante, dar nu pot produce un răspuns finit pentru o serie care diferă la+∞. Majoritatea definițiilor mai elementare ale sumei unei serii divergente sunt stabile și liniare, iar orice metodă care este atât stabilă, cât și liniară nu poate însuma 1 + 2 + 3 + ⋯ la o valoare finită; vezi mai jos. Sunt necesare metode mai avansate, cum ar fi regularizarea funcției zeta sau sumarea Ramanujan., De asemenea, este posibil să se argumenteze valoarea −+1/12 folosind unele euristice brute legate de aceste metode.

HeuristicsEdit

Trecerea de la Ramanujan primul notebook care descrie „constant” de serie

prima cheie insight este că seria de numere pozitive 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ aseamănă alternativ serie 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯., Ultima serie este, de asemenea, divergentă, dar este mult mai ușor de lucrat; există mai multe metode clasice care îi atribuie o valoare, care au fost explorate încă din secolul al XVIII-lea.

În scopul de a transforma o serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ în 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, se poate scădem 4 din cel de-al doilea termen, 8 din cel de-al patrulea termen, 12 de la al șaselea mandat, și așa mai departe. Suma totală care trebuie scăzută este 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯, care este de 4 ori seria originală. Aceste relații pot fi exprimate folosind algebra. Oricare ar fi „suma” seriei, numiți-o c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.,”b89c09463b”>{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}

The second key insight is that the alternating series 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ is the formal power series expansion of the function 1/(1 + x)2 but with x defined as 1., În consecință, Ramanujan scrie:

− 3 c = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Împărțind ambele părți de -3, se obține c = −+1/12.în general, este incorect să manipulezi serii infinite ca și cum ar fi sume finite. De exemplu, dacă zerourile sunt inserate în poziții arbitrare ale unei serii divergente, este posibil să se ajungă la rezultate care nu sunt auto-consecvente, cu atât mai puțin în concordanță cu alte metode. În special, pasul 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ nu este justificată numai de legea privind identitatea aditivă., Pentru un exemplu extrem, adăugarea unui singur zero la partea din față a seriei poate duce la un rezultat diferit. o modalitate de a remedia această situație și de a constrânge locurile în care pot fi inserate zerouri este de a urmări fiecare termen din serie prin atașarea unei dependențe de o anumită funcție. În Serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, Fiecare termen n este doar un număr. Dacă termenul n este promovat într−o funcție n-s, unde s este o variabilă complexă, atunci se poate asigura că se adaugă numai termeni asemănători. Seria rezultată poate fi manipulată într-un mod mai riguros, iar variabila s poate fi setată la -1 mai târziu., Implementarea acestei strategii se numește regularizarea funcției zeta.din acest punct, există câteva modalități de a dovedi că ζ(-1) = −+1/12. O metodă, de-a lungul liniilor raționamentului lui Euler, folosește relația dintre funcția Riemann zeta și funcția Dirichlet eta η(s). Funcția ETA este definită de o serie Dirichlet alternativă, astfel încât această metodă este paralelă cu euristica anterioară.,ht)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}} − 3 ζ ( − 1 ) = η ( − 1 ) = lim x → 1 − ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ ) = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Dividing both sides by −3, one gets ζ(−1) = −+1/12.,

Cutoff regularizationEdit

seria 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

După netezire

comportamentul Asimptotic de netezire. Interceptarea y a parabolei este- −1/12. metoda de regularizare folosind o funcție cutoff poate „netezi” seria pentru a ajunge la −+1/12., Netezirea este o punte conceptuală între regularizarea funcției zeta, cu dependența sa de analiza complexă și sumarea Ramanujan, cu comanda rapidă către formula Euler–Maclaurin. În schimb, metoda funcționează direct pe transformările conservatoare ale seriei, folosind metode din analiza reală.

ideea este de a înlocui prost-crescuți discrete seria ∑ n = 0 N N {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n} cu o versiune netezite

∑ n = 0 ∞ n f ( n n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right)} ,

în cazul în care f este un cutoff funcția cu proprietăți corespunzătoare., Funcția cutoff trebuie normalizată la f (0) = 1; Aceasta este o normalizare diferită de cea utilizată în ecuațiile diferențiale. Funcția cutoff ar trebui să aibă suficiente derivate delimitate pentru a netezi ridurile din serie și ar trebui să se descompună la 0 mai repede decât seria crește. Pentru comoditate, se poate solicita ca f să fie netedă, delimitată și susținută compact. Se poate dovedi apoi că această sumă netezită este asimptotică la – +1/12 + CN2, unde C este o constantă care depinde de f., Termenul constant al expansiunii asimptotice nu depinde de f: este în mod necesar aceeași valoare dată de continuarea analitică, −+1/12.

Ramanujan sumationedit

suma Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ este −de asemenea – +1/12. Ramanujan a scris în cea de-a doua scrisoare adresată lui G. H. Hardy, datată 27 februarie 1913:

„Dragă domnule, sunt foarte mulțumit că am citit scrisoarea dvs. din 8 februarie 1913., Mă așteptam la un răspuns de la tine similar cu cel pe care un profesor de matematică de la Londra mi-a scris cerându-mi să studiez cu atenție seria infinită a lui Bromwich și să nu cad în capcanele seriei divergente. … I-am spus că suma unui număr infinit de termeni ai seriei: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12 conform teoriei mele. Dacă îți spun asta, îmi vei arăta imediat azilul de nebuni drept țelul meu. Mă dilat pe acest lucru pur și simplu pentru a vă convinge că nu veți putea să urmați metodele mele de probă dacă voi indica liniile pe care procedez într-o singură literă., … „

sumarea Ramanujan este o metodă de a izola termenul constant în formula Euler-Maclaurin pentru sumele parțiale ale unei serii. Pentru o funcție f, clasice Ramanujan suma seriei ∑ k = 1 ∞ f ( k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)} este definit ca

c = − 1 2 f ( 0 ) − ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) , {\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2K-1)}(0),} c = − 1 6 × 1 2 ! = − 1 12 . {\displaystyle c= – {\frac {1} {6}} \ times {\frac {1} {2!}} = – {\frac {1}{12}}.,}

Pentru a evita inconsecvențele, teoria modernă a Ramanujan însumare presupune că f este „obișnuit”, în sensul că cea mai mare-pentru derivații de f degradare destul de repede pentru restul termeni în Euler–Maclaurin formula sa tind spre 0. Ramanujan și-a asumat tacit această proprietate. Cerința de regularitate împiedică utilizarea sumării Ramanujan pe serii distanțate, cum ar fi 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, deoarece nicio funcție obișnuită nu ia aceste valori. În schimb, o astfel de serie trebuie interpretată prin regularizarea funcției zeta., Din acest motiv, Hardy recomandă „mare precauție” atunci când aplică sumele Ramanujan ale seriilor cunoscute pentru a găsi sumele seriilor conexe.

eșecul metodelor de însumare liniară stabilăedit

o metodă de însumare care este liniară și stabilă nu poate însuma Seria 1 + 2 + 3 + ⋯ la orice valoare finită. (Stabil înseamnă că adăugarea unui termen la începutul seriei crește suma cu aceeași sumă.) Acest lucru poate fi văzut după cum urmează. Dacă

1 + 2 + 3 + ⋯ = x

apoi adăugarea 0 la ambele părți dă

0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x prin stabilitate.,

prin liniaritate, se poate scădea a doua ecuație din prima (scăzând fiecare componentă a celei de-a doua linii din prima linie din coloane) pentru a da

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *