Biografia
Euclides de Alexandria é o mais proeminente matemático da antiguidade, mais conhecido por seu tratado sobre a matemática Os Elementos. A natureza duradoura dos elementos deve fazer de Euclides o principal professor de matemática de todos os tempos. No entanto, pouco se sabe sobre a vida de Euclides, exceto que ele ensinou em Alexandria, no Egito., Proclus, o último grande filósofo grego, que viveu por volta de 450 d.c., escreveu (ver ou ou muitas outras fontes):-
Não muito mais jovem do que estes é Euclides, que juntos os “Elementos”, organizando em ordem muitos de Eudoxus da teoremas, aperfeiçoando a muitos de Theaetetus, e também trazendo para irrefutável demonstração coisas que tinha sido apenas vagamente provado por seus antecessores., Esse homem viveu no tempo do primeiro Ptolomeu; de Arquimedes, que se seguiu logo após o primeiro Ptolomeu faz menção de Euclides, e ainda dizem que Ptolomeu uma vez perguntei-lhe se havia um curto caminho para o estudo de geometria que os Elementos, ao que ele respondeu que não havia nenhuma estrada real para a geometria. Ele é, portanto, mais jovem do que o círculo de Platão, mas mais velho do que Eratóstenes e Arquimedes; pois estes eram contemporâneos, como Eratóstenes em algum lugar diz., Em seu objetivo ele era um platonista, simpatizando com esta filosofia, de onde ele fez o fim de todos os “elementos” a construção das chamadas figuras platônicas.
há outras informações sobre Euclid dadas por certos autores, mas não se acredita que seja confiável. Existem dois tipos diferentes desta informação adicional. O primeiro tipo de informação extra é a dada por autores árabes que afirmam que Euclid era filho de Naucrates e que ele nasceu em tiro., Acredita-se pelos historiadores da matemática que isto é inteiramente fictício e foi meramente inventado pelos autores.o segundo tipo de informação é que Euclid nasceu em Megara. Isto é devido a um erro por parte dos autores que deram esta informação pela primeira vez. De fato, havia um Euclides de Megara, que era um filósofo que viveu cerca de 100 anos antes do matemático Euclides de Alexandria. Não é bem coincidência que possa parecer que havia dois homens instruídos chamados Euclid., Na verdade Euclides foi um nome muito comum em torno deste período e esta é uma complicação adicional que torna difícil descobrir informações sobre Euclides de Alexandria, uma vez que há referências a numerosos homens chamados Euclides na literatura deste período.retornando à citação de Proclo dada acima, o primeiro ponto a fazer é que não há nada inconsistente na datação dada., No entanto, embora não saibamos exatamente a que Referência Euclides no trabalho de Arquimedes a que Proclus se refere, no que nos chegou há apenas uma referência a Euclides e isso ocorre na esfera e no cilindro. A conclusão óbvia, portanto, é que tudo está bem com o argumento de Proclo e isso foi assumido até que contestado por Hjelmslev in . Ele argumentou que a referência a Euclides foi adicionada ao livro de Arquimedes em uma fase posterior, e na verdade é uma referência bastante surpreendente., Não era tradição da época dar tais referências, além disso há muitos outros lugares em Arquimedes onde seria apropriado referir-se a Euclides e não há tal referência. Apesar de Hjelmslev afirmar que a passagem foi adicionada mais tarde, Bulmer-Thomas escreve em: –
embora já não seja possível confiar nesta referência, uma consideração geral das obras de Euclides … ainda mostra que ele deve ter escrito depois de tantos alunos de Platão como Eudoxo e antes de Arquimedes.,
For further discussion on dating Euclid, see for example . Isto está longe de um fim aos argumentos sobre Euclides, o matemático. A situação é melhor resumida por Itard, que dá três hipóteses possíveis.
(iii) Euclid não era um caráter histórico. As “obras completas de Euclides” foram escritas por uma equipe de Matemáticos em Alexandria que tomou o nome de Euclides do personagem histórico Euclides de Megara, que havia vivido cerca de 100 anos antes.vale a pena ressaltar que Itard, que aceita as alegações de Hjelmslev de que a passagem sobre Euclides foi adicionada a Arquimedes, favorece a segunda das três possibilidades que listamos acima. Devemos, no entanto, fazer alguns comentários sobre as três possibilidades que, é justo dizer, resumem muito bem todas as possíveis teorias actuais.,
há algumas evidências fortes para aceitar (i). Foi aceite sem questionar por todos durante mais de 2000 anos e há poucas evidências que são inconsistentes com esta hipótese. É verdade que existem diferenças de estilo entre alguns dos livros dos elementos, mas muitos autores variam seu estilo. Mais uma vez, o facto de Euclides ter, sem dúvida, baseado OS Elementos em obras anteriores significa que seria bastante notável se não restasse qualquer vestígio do estilo do autor original.,mesmo que aceitemos (i), então não há dúvida de que Euclides construiu uma vigorosa escola de matemática em Alexandria. Ele, portanto, teria tido alguns alunos capazes que podem ter ajudado a escrever os livros. No entanto a hipótese (ii) vai muito mais longe do que isso e sugere que diferentes livros foram escritos por diferentes matemáticos. Além das diferenças de estilo acima referidas, há pouca evidência direta disso.,embora no rosto dela (iii) possa parecer a mais fantasiosa das três sugestões, no entanto, o exemplo de Bourbaki do século XX mostra que está longe de ser impossível. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley e Alexander Grothendieck escreveram coletivamente sob o nome de Bourbaki e as Eléments de mathématiques de Bourbaki contêm mais de 30 volumes., É claro que se (iii) fosse a hipótese correta então Apolônio, que estudou com os alunos de Euclides em Alexandria, deve ter sabido que não havia nenhuma pessoa ‘Euclides’, mas o fato de que ele escreveu:-
…. Euclides não trabalhou para fora as sínteses do locus com respeito a três e quatro linhas, mas somente uma parte chance dele …
certamente não prova que Euclid era um personagem histórico, uma vez que há muitas referências semelhantes a Bourbaki por matemáticos que sabiam perfeitamente que Bourbaki era fictício., No entanto, os matemáticos que formaram a equipe Bourbaki são todos bem conhecidos em seu próprio direito e este pode ser o maior argumento contra a hipótese (iii) em que a “equipe Euclides” teria que ter consistido de matemáticos notáveis. Então, quem eram eles?assumiremos neste artigo que a hipótese (I) é verdadeira, mas, não tendo conhecimento de Euclides, devemos nos concentrar em suas obras depois de fazer alguns comentários sobre possíveis eventos históricos. Euclides deve ter estudado na Academia de Platão em Atenas para ter aprendido a geometria de Eudoxo e Teeteto de que ele era tão familiar.,nenhum dos trabalhos de Euclides tem um prefácio, pelo menos nenhum veio até nós então é altamente improvável que alguma vez existiu, então não podemos ver nenhum de seu caráter, como podemos de alguns outros matemáticos gregos, a partir da natureza de seus prefácios. Pappus escreve (veja por exemplo ) que Euclid era:-
… o mais justo e bem disposto para com todos os que foram capazes, em qualquer medida, de avançar a matemática, cuidadoso de forma alguma para dar ofensa, e embora um erudito exato não se vangloriando.,
Alguns dizem que estas palavras foram adicionadas para o papo, e certamente o ponto da passagem (em uma continuação que não foi citado), é falar duramente (e quase certamente injustamente) de Apolônio de tiana. O retrato de Euclides desenhado por Pappus está, no entanto, certamente em linha com a evidência de seus textos matemáticos. Outra história contada por Stobaeus é a seguinte:-
… alguém que tinha começado a aprender geometria com Euclid, quando ele tinha aprendido o primeiro teorema, perguntou a Euclid ” o que eu ganho aprendendo essas coisas?, Euclides chamou seu escravo e disse: “Dê-lhe três pence uma vez que ele deve ganhar com o que ele aprende”.
Euclid’s most famous work is his treatise on mathematics the Elements. O livro foi uma compilação de conhecimento que se tornou o centro de ensino matemático por 2000 anos. Provavelmente nenhum resultado nos elementos foi provado pela primeira vez por Euclides, mas a organização do material e sua exposição são certamente devidas a ele., Na verdade, há uma ampla evidência de que Euclid está usando livros anteriores como ele escreve os elementos, uma vez que ele introduz um grande número de definições que nunca são usadas, como a de um oblongo, um losango e um losango.os elementos começam com definições e cinco postulados. Os três primeiros postulados são postulados de construção, por exemplo, o primeiro postulado afirma que é possível traçar uma linha reta entre quaisquer dois pontos., Estes postulados também assumem implicitamente a existência de pontos, linhas e círculos e, em seguida, a existência de outros objetos geométricos são deduzidos do fato de que estes existem. Há outros pressupostos nos postulados que não são explícitos. Por exemplo, assume-se que existe uma linha única que une quaisquer dois pontos. Da mesma forma postula dois e três, na produção de linhas rectas e círculos de desenho, respectivamente, assumir a singularidade dos objetos a possibilidade de cuja construção está sendo postulada.os quarto e quinto postulados são de natureza diferente., Postular quatro estados que todos os ângulos retos são iguais. Isto pode parecer “óbvio”, mas na verdade assume que o espaço em homogêneo – por isso queremos dizer que uma figura será independente da posição no espaço em que é colocado. O famoso quinto postulado, ou paralelo, afirma que uma e apenas uma linha pode ser traçada através de um ponto paralelo a uma determinada linha. A decisão de Euclides de fazer disso um postulado levou à geometria euclidiana. Não foi até o século XIX que este postulado foi descartado e geometrias não euclidianas foram estudadas.existem também axiomas que Euclides chama de “noções comuns”., Estas não são propriedades geométricas específicas, mas sim suposições gerais que permitem que a matemática avance como uma ciência dedutiva. Por exemplo: –
as coisas que são iguais à mesma coisa são iguais entre si.
Zenão de Sídon, cerca de 250 anos após Euclides ter escrito os elementos, parece ter sido o primeiro a mostrar que as proposições de Euclides não foram deduzidas dos postulados e axiomas sozinho, e Euclides faz outras suposições sutis.
os elementos estão divididos em 13 livros. Os livros 1 a 6 tratam da geometria do avião., Em particular, os livros um e dois apresentam propriedades básicas de triângulos, paralelos, paralelogramos, retângulos e Quadrados. Book three studies properties of the circle while book four deals with problems about circles and is thought largely to set out work of the followers of Pythagoras. O livro cinco apresenta o trabalho de Eudoxo em proporção aplicada a magnitudes comensuráveis e incomensuráveis. Heath diz: –
a matemática grega não pode se gabar de nenhuma descoberta melhor do que esta teoria, que colocou em uma base sólida tanto da geometria como dependia do uso da proporção.,
Book six looks at applications of the results of book five to plane geometry.
Os livros sete a nove tratam da teoria dos números. In particular book seven is a self-contained introduction to number theory and contains the Euclidean algorithm for finding the greatest common divisor of two numbers. Book eight looks at numbers in geometrical progression but van der Waerden writes in that it contains: –
… enunciações pesadas, repetições desnecessárias e até falácias lógicas., Aparentemente, a exposição de Euclides se destacou apenas nas partes em que ele tinha excelentes fontes à sua disposição.
O Livro dez trata da teoria dos números irracionais e é principalmente obra de Teeteto. Euclid mudou as provas de vários teoremas deste livro de modo que eles encaixaram a nova definição de proporção dada por Eudoxus.
Os livros onze a treze lidam com geometria tridimensional. No livro onze são dadas as definições básicas necessárias para os três livros juntos., Os teoremas então seguem um padrão bastante semelhante aos análogos bidimensionais previamente dados nos livros um e quatro. Os principais resultados do livro Doze são que os círculos são uns para os outros como os quadrados de seus diâmetros e que as esferas são uns para os outros como os cubos de seus diâmetros. Estes resultados devem-se certamente ao Eudoxus. Euclides prova estes teoremas usando o “método de exaustão” inventado por Eudoxus. Os elementos terminam com o livro treze, que discute as propriedades dos cinco poliedros regulares e dá uma prova de que há precisamente cinco., Este livro parece ser baseado em um tratado anterior de Teeteto.os elementos de Euclides são notáveis pela clareza com que os teoremas são declarados e provados. O padrão de rigor era tornar-se um objetivo para os inventores do cálculo séculos mais tarde. Como Heath escreve em :-
Este livro maravilhoso, com todas as suas imperfeições, que são, de fato, leve o suficiente quando se tem em conta a data em que apareceu, é e será, sem dúvida, permanecer o maior matemático livro de todos os tempos. …, Mesmo nos tempos gregos, os matemáticos mais talentosos ocuparam-se com ela: Heron, Pappus, Porfírio, Proclo e Simplicius escreveram comentários; Teão de Alexandria reeditou-a, alterando a linguagem aqui e ali, principalmente com vista a uma maior clareza e consistência…
é uma história fascinante como os elementos sobreviveram do tempo de Euclides e isso é bem contado por Fowler in ., Ele descreve os primeiros material relacionado com os Elementos que sobreviveu:-
Nosso primeiro vislumbre do Euclidiana material vai ser o mais notável por mil anos, seis fragmentária ostracas contendo texto e uma figura … encontrado na Ilha Elefantina em 1906/07 e 1907/08… Estes textos são antigos, embora ainda mais de 100 anos após a morte de Platão (eles são datados em bases paleográficas para o terceiro quarto do século III a. C.); avançados (eles lidam com os resultados encontrados nos “elementos” …, no pentágono, hexágono, decágono e icosaedro); e eles não seguem o texto dos elementos. … Então eles dão provas de alguém no século III a. C., localizado a mais de 500 milhas ao sul de Alexandria, trabalhando através deste material difícil… esta pode ser uma tentativa de entender a matemática, e não uma cópia servil …
O fragmento seguinte que temos data de 75-15 D. C. e mais uma vez parece ser notas de alguém tentando entender o material dos elementos.,mais de mil edições dos elementos foram publicadas desde que foi impresso pela primeira vez em 1482. Heath discute muitas das edições e descreve as prováveis mudanças no texto ao longo dos anos.
b l van der Waerden avalia a importância dos elementos em :-
quase a partir do tempo de sua escrita e que dura quase até o presente, OS Elementos exerceram uma influência contínua e importante sobre os assuntos humanos. Foi a principal fonte de raciocínio geométrico, teoremas e métodos pelo menos até o advento da geometria não euclidiana no século XIX., Diz-se às vezes que, ao lado da Bíblia, os “elementos” podem ser os mais traduzidos, publicados e estudados de todos os livros produzidos no mundo ocidental.,
Euclides escreveu os seguintes livros que sobreviveram: Dados (com 94 proposições), que analisa as propriedades de figuras podem ser deduzidas quando outras propriedades são dadas; Em Divisões, que analisa as construções para se divide uma figura em duas partes com áreas de determinada relação; a Óptica, que é o primeiro grego trabalho em perspectiva; e Phaenomena, que é uma introdução elementar de matemática, astronomia e dá resultados em tempos estrelas em determinadas posições, irá nascer e se pôr., Os seguintes livros de Euclides foram todos perdidos: loci de superfície (dois livros), Porismos (um trabalho de três livros com, de acordo com Pappus, 171 teoremas e 38 lemmas), cónicos (quatro livros), livro de falácias e elementos da música. O Livro de Falácias é descrito por Proclus :-
uma vez que muitas coisas parecem conformar-se com a verdade, e a seguir a partir de princípios científicos, mas de desviar dos princípios e enganar o mais superficial, julgou métodos para o clarividente compreensão desses assuntos também …, O tratado em que ele nos deu esta máquina é intitulado falácias, enumerando em ordem os vários tipos, exercendo nossa inteligência em cada caso por teoremas de todos os tipos, colocando o verdadeiro lado a lado com o falso, e combinando a refutação do erro com ilustração prática.
Elementos da Música é um trabalho que é atribuído a Euclides por Proclus. Temos dois tratados sobre música que sobreviveram, e que alguns autores atribuíram a Euclides, mas agora Se pensa que não são o trabalho sobre música referido por Proclo.,Euclid pode não ter sido um matemático de primeira classe, mas a natureza duradoura dos elementos deve fazer dele o principal professor de matemática da antiguidade ou talvez de todos os tempos. Como, no final, uma nota pessoal, deixe-me acrescentar que a minha própria introdução a matemática na escola nos anos de 1950, foi a partir de uma edição de parte dos Elementos de Euclides e o trabalho forneceu uma base lógica para a matemática e o conceito de prova que parecem faltar na escola de matemática de hoje.