a first-order ordinary differential equation in the form:

M ( X , Y ) D x + N ( x , y ) D y = 0 {\displaystyle M(X,Y)\,DX+N(x,y)\,dy=0} m ( λ x , λ y ) = λ N M ( X , Y ) and N ( λ x , λ y ) = λ n n ( x , y ) . {\displaystyle M (\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M (x,y) \ quad {\text {and}} \ quad n (\lambda x, \ lambda y)= \ lambda ^ {n}n(x,y)\,.}

Thus,

M (λ x, λ y) n ( λ x , λ y) = m ( x , y) n (x , y). {\displaystyle {\frac {m (\lambda x, \ lambda y)} {n (\lambda x,\lambda y)}}={\frac {m(x,y)}{n (x,y)}}\,.,}

Solução methodEdit

M ( x , y ) N ( x , y ) = M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( 1 , y / x ) N ( 1 , y / x ) = f ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}

isto é

D y D x = − f ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}= – f (y/x).}

Introduzir a mudança deste ‘variáveis’ y = u x {\displaystyle y=ux} ; diferenciar usando a regra do produto:

d y d x = d ( u, x ) d x = x d u d x + u d x d x = x d u d x + u ., {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}

Este transforma o original equação diferencial para o separáveis formulário

x d u d x = − f ( u ) − u , {\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u}

ou

1 x d x d u = − 1 f ( u ) + u , {\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}

o que pode agora ser integrada diretamente: log x é igual a antiderivada de, do lado direito (ver equação diferencial ordinária).,

Especial caseEdit

Uma equação diferencial de primeira ordem da forma (a, b, c, e, f, g são todos constantes)

( a x + b y + c ) d x + e x + f y + g ) d y = 0 {\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}

onde af ≠ becan ser transformado em um homogênea tipo por uma transformação linear de duas variáveis ( α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } são constantes):

t = x + α ; z = y + β . {\displaystyle t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}