geometria Hiperbólica

A primeira descrição da geometria hiperbólica foi dada no contexto de postulados de Euclides, e ela logo se provou que todas as geometrias hiperbólica diferem apenas na escala (no mesmo sentido de que as esferas se diferenciam apenas no tamanho). Em meados do século XIX, foi mostrado que superfícies hiperbólicas devem ter curvatura negativa constante. No entanto, isso ainda deixou em aberto a questão de se alguma superfície com geometria hiperbólica realmente existe.,em 1868, o matemático italiano Eugenio Beltrami descreveu uma superfície, chamada pseudosfera, que tem constante curvatura negativa. No entanto, a pseudosfera não é um modelo completo para geometria hiperbólica, porque as linhas intrinsecamente retas na pseudosfera podem Intersectar-se e não podem ser continuadas após o círculo envolvente (nenhum dos quais é verdadeiro na geometria hiperbólica)., Em 1901, o matemático alemão David Hilbert provou que é impossível definir uma superfície hiperbólica completa usando funções analíticas reais (essencialmente, funções que podem ser expressas em termos de fórmulas ordinárias). Naqueles dias, uma superfície sempre significou uma definida por funções analíticas reais, e assim a busca foi abandonada. No entanto, em 1955, o matemático holandês Nicolaas Kuiper provou a existência de uma superfície hiperbólica completa, e na década de 1970 o matemático americano William Thurston descreveu a construção de uma superfície hiperbólica., Tal superfície, como mostrado na figura, também pode ser de malha.

No século 19, os matemáticos desenvolveram três modelos de geometria hiperbólica, que agora podem ser interpretados como projeções (ou mapas) da superfície hiperbólica., Embora todos estes modelos sofram de alguma distorção-semelhante à forma como os mapas planos distorcem a Terra esférica—eles são úteis individualmente e em combinação como auxiliares para entender a geometria hiperbólica. Em 1869-71 Beltrami e o matemático alemão Felix Klein desenvolveram o primeiro modelo completo de geometria hiperbólica (e primeiro chamou a geometria de “hiperbólica”). No modelo Klein-Beltrami (mostrado na figura, no topo à esquerda), a superfície hiperbólica é mapeada para o interior de um círculo, com geodésica na superfície hiperbólica correspondente a acordes no círculo., Assim, o modelo Klein-Beltrami preserva “straightness”, mas ao custo de distorcer ângulos. Por volta de 1880, o matemático francês Henri Poincaré desenvolveu mais dois modelos. No modelo de disco de Poincaré (ver figura em cima à direita), a superfície hiperbólica é mapeado para o interior de um disco circular, com hiperbólica geodesia mapeamento de arcos circulares (ou diâmetros) no disco que atendem a delimitação do círculo em ângulos retos., No modelo semi-plano superior de Poincaré( ver figura, no fundo), a superfície hiperbólica é mapeada no meio-Plano acima do eixo x, com geodésica hiperbólica mapeada em semicírculos (ou raios verticais) que se encontram com o eixo x em ângulos retos. Ambos os modelos de Poincaré distorcem distâncias, preservando ângulos medidos por linhas tangentes.,

David W., Henderson Daina Taimina