1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ (Português)

entre as séries divergentes clássicas, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ é relativamente difícil de manipular para um valor finito. Muitos métodos de soma são usados para atribuir valores numéricos a séries divergentes, algumas mais poderosas do que outras. Por exemplo, a soma de Cesàro é um método bem conhecido que resume a série de Grandi, a série ligeiramente divergente. 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, para 1/2. A soma de Abel é um método mais poderoso que não só resume a série de Grandi a 1/2, mas também resume a série mais complicada. 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ para 1/4.,ao contrário da série acima, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ não é “Cesàro summable” nem “Abel summable”. Esses métodos trabalham na oscilação de séries divergentes, mas não podem produzir uma resposta finita para uma série que diverge para +∞. A maioria das definições mais elementares da soma de uma Série Divergente são estáveis e lineares, e qualquer método que seja estável e linear não pode somar 1 + 2 + 3 + ⋯ a um valor finito; veja abaixo. Métodos mais avançados são necessários, como a regularização da função zeta ou a soma de Ramanujan., Também é possível argumentar pelo valor de −+1/12 usando algumas heurísticas grosseiras relacionadas a estes métodos.

HeuristicsEdit

Passagem de Ramanujan primeiro caderno descrevendo a “constante” da série

O primeiro pensamento chave é que a série de números positivos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ parecida com a alternância de série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯., A última série também é divergente, mas é muito mais fácil de trabalhar com; há vários métodos clássicos que lhe atribuem um valor, que têm sido explorados desde o século XVIII.

para transformar a série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ em 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, pode-se subtrair 4 a partir do segundo termo, 8 quarta-do prazo, 12 a partir do sexto termo, e assim por diante. O montante total a subtrair é 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯, o que é 4 vezes a série original. Essas relações podem ser expressas usando álgebra. Qualquer que seja a “soma” da série, chame-lhe c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.,”b89c09463b”>{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}

The second key insight is that the alternating series 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ is the formal power series expansion of the function 1/(1 + x)2 but with x defined as 1., Assim, Ramanujan escreveu:

− 3 c = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Dividindo ambos os lados por-3, obtém-se c = −+1/12.

Geralmente falando, é incorreto manipular séries infinitas como se fossem somas finitas. Por exemplo, se zeros são inseridos em posições arbitrárias de uma série DIVERGENTE, é possível chegar a resultados que não são auto-consistentes, muito menos consistentes com outros métodos. Em especial, a etapa 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ não se justifica apenas pela lei de identidade aditiva., Para um exemplo extremo, adicionar um único zero à frente da série pode levar a um resultado diferente.

uma maneira de remediar esta situação, e para restringir os locais onde zeros podem ser inseridos, é manter o controle de cada termo na série, anexando uma dependência de alguma função. Na série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, cada termo n é apenas um número. Se o termo n é promovido a uma função n−s, onde s é uma variável complexa, então pode-se garantir que apenas termos similares são adicionados. A série resultante pode ser manipulada de uma forma mais rigorosa, e a variável s pode ser ajustada para -1 mais tarde., A implementação desta estratégia é chamada de regularização da função zeta.

função zeta regularizationEdit

a partir deste ponto, existem algumas maneiras de provar Que ζ(-1) = −+1/12. Um método, ao longo das linhas do raciocínio de Euler, usa a relação entre a função zeta de Riemann e a função ETA de Dirichlet η(s). A função eta é definida por uma série de Dirichlet alternada, de modo que este método é paralelo com as heurísticas anteriores.,ht)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}} − 3 ζ ( − 1 ) = η ( − 1 ) = lim x → 1 − ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ ) = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Dividing both sides by −3, one gets ζ(−1) = −+1/12.,

de Corte regularizationEdit

A série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Depois de alisar

comportamento Assintótico de suavização. A interceptação em y da parábola é – +1/12.

o método de regularização usando uma função de corte pode “suavizar” a série para chegar a −+1/12., Smoothing é uma ponte conceitual entre a regularização da função zeta, com sua dependência de análise complexa, e a soma de Ramanujan, com seu atalho para a fórmula de Euler–Maclaurin. Em vez disso, o método opera diretamente em transformações conservadoras da série, usando métodos de análise real.

A ideia é substituir o mal-comportado discreta série ∑ n = 0 N n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n} com uma versão suavizada

∑ n = 0 ∞ n f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right)} ,

, onde f é uma função de corte com propriedades adequadas., A função de corte deve ser normalizada para f (0) = 1; Esta é uma normalização diferente da usada em equações diferenciais. A função de corte deve ter derivados limitados suficientes para suavizar as rugas na série, e deve decair para 0 mais rápido do que a série cresce. Por conveniência, pode-se exigir que f seja liso, limitado e compactamente suportado. Pode −se então provar que esta soma suavizada é assintótica a – +1/12 + CN2, onde C é uma constante que depende de F., O termo constante da expansão assintótica não depende de f: é necessariamente o mesmo valor dado pela continuação analítica, −+1/12.

Ramanujan summationEdit

A soma de Ramanujan 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ é também −+1/12. Ramanujan escreveu em sua segunda carta a G. H. Hardy, datada de 27 de fevereiro de 1913: “Caro senhor, estou muito satisfeito por ler sua carta de 8 de fevereiro de 1913., Estava à espera de uma resposta sua semelhante à que um professor de matemática em Londres escreveu a pedir-me para estudar cuidadosamente a série infinita de Bromwich e não cair nas armadilhas das séries divergentes. … Eu disse-lhe que a soma de um número infinito de termos da série: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12 segundo a minha teoria. Se te disser isto, vais apontar-me o manicómio como o meu objectivo. Dilato-me a este respeito apenas para vos convencer de que não conseguireis seguir os meus métodos de prova se eu indicar as linhas em que sigo numa única carta., a soma de Ramanujan é um método para isolar o termo constante na fórmula de Euler-Maclaurin para as somas parciais de uma série. Para uma função f, A soma clássica de Ramanujan da série ∑ k = 1 ∞ f ( k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)} é definida como

c = − 1 2 f ( 0 ) − ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( k 2 − 1 ) ( 0 ) , {\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)} (0),} C = − 1 6 × 1 2 ! = − 1 12 . {\displaystyle c=-{\frac{1} {6}}}\vezes {\frac{1} {2!}=- {\frac {1}{12}}}., para evitar inconsistências, a teoria moderna da soma de Ramanujan requer que f seja “regular” no sentido de que os derivados de ordem superior do decaiam rapidamente o suficiente para os termos restantes na fórmula de Euler-Maclaurin tenderem a 0. Ramanujan tacitamente assumiu esta propriedade. O requisito de regularidade impede a utilização da soma de Ramanujan em séries espaçadas como 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, porque nenhuma função regular toma esses valores. Em vez disso, tal série deve ser interpretada pela regularização da função zeta., Por esta razão, Hardy recomenda “grande cautela” ao aplicar as somas de Ramanujan de séries conhecidas para encontrar as somas de séries relacionadas.

falha dos métodos de soma linear estável edit

um método de soma linear e estável não pode somar a série 1 + 2 + 3 + ⋯ a qualquer valor finito. (Stable means that adding a term to the beginning of the series increases the sum by the same amount.) Isto pode ser visto como segue. Se

1 + 2 + 3 + ⋯ = x

depois adicionar 0 a ambos os lados dá

0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x por estabilidade., por linearidade, pode-se subtrair a segunda equação da primeira (subtraindo cada componente da segunda linha da primeira linha em colunas) para dar

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