Massa di probabilità Funzione | PMF

3.1.3 Funzione di Massa di Probabilità (PMF)

Così, PMF è una misura di probabilità che ci dà la probabilità dei possibili valori di una variabile casuale. Mentre la notazione sopra è la notazione standard per il PMF di X X$, all’inizio potrebbe sembrare confusa. Il pedice here X indicates qui indica che questo è il PMF della variabile casuale X X.. Quindi, ad esempio, P P_X(1) shows mostra la probabilità che X X=1.., Per comprendere meglio tutti i concetti di cui sopra, diamo un’occhiata ad alcuni esempi.

Esempio
Sebbene il PMF sia solitamente definito per valori nell’intervallo, a volte è conveniente estendere il PMF di X X to a tutti i numeri reali. Se x x \notin R_X can, possiamo semplicemente scrivere P P_X(x)=P(X=x)=0$. Quindi, in generale possiamo scrivere \ begin {equation} \ nonumber P_X (x) = \left\{ \begin{array}{l l} P(X=x) & \quad \text{if x x is is in } R_X\\ 0 & \quad \text{otherwise} \end{array} \right. \ end {equation}

Per visualizzare meglio il PMF, possiamo tracciarlo. Figura 3.,1 mostra il PMF della variabile casuale sopra above X$. Come vediamo, la variabile casuale può assumere tre possibili valori 0 0,1 and e $2.. La figura indica anche chiaramente che l’evento X X=1 is è due volte più probabile degli altri due valori possibili. La Figura può essere interpretato nel modo seguente: Se ripetiamo l’esperimento casuale (un lancio di una moneta due volte) un gran numero di volte, quindi circa la metà delle volte possiamo osservare $X=1$, circa un quarto di volte osserviamo $X=0$, e circa un quarto di volte osserviamo $X=2$.

Fig.3.,1-PMF per variabile casuale X X in nell’esempio 3.3.

Per variabili casuali discrete, il PMF è anche chiamato distribuzione di probabilità. Quindi, quando viene chiesto di trovare la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X X X, possiamo farlo trovando il suo PMF. La funzione di distribuzione frase è di solito riservata esclusivamente per la funzione di distribuzione cumulativa CDF (come definito più avanti nel libro). La parola distribuzione, d’altra parte, in questo libro è usata in un senso più ampio e potrebbe riferirsi a PMF, probability density function (PDF) o CDF.,

Esempio

ho un ingiusto moneta per cui $P(H)=p$, dove $0

si Consideri una variabile casuale discreta $X$ con$Intervallo(X)=R_X$. Si noti che per definizione il PMF è una misura di probabilità, quindi soddisfa tutte le proprietà di una misura di probabilità. In particolare, abbiamo

  • $0\leq P_X(x) \leq 1$ per tutti gli $x$ e
  • $\sum_{x \in R_X} P_X(x)=1$.

Si noti inoltre che per qualsiasi set R A \subset R_X we, possiamo trovare la probabilità che X X \in A using usando il PMF PM P(X \in A)=\sum_{x \in A} P_X(x).,$$

Proprietà del PMF:

  • $0\leq P_X(x) \leq 1$ per tutti gli $x$;
  • $\sum_{x \in R_X} P_X(x)=1$;
  • per ogni insieme $A \subset R_X, P(X \a)=\sum_{x \in a} P_X(x)$.

Esempio

Per la variabile casuale Y Y in nell’esempio 3.4,

  1. Verificare che Check\sum_{y \in R_Y} P_Y(y)=1..
  2. Se p p= \ frac{1}{2}$, trova P P (2\leq Y

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