1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ (Italiano)

Tra le serie divergenti classiche, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ è relativamente difficile da manipolare in un valore finito. Molti metodi di sommatoria sono usati per assegnare valori numerici a serie divergenti, alcuni più potenti di altri. Ad esempio, la somma di Cesàro è un metodo ben noto che somma le serie di Grandi, le serie leggermente divergenti 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, a 1/2. Abel summation è un metodo più potente che non solo somma la serie di Grandi a 1/2, ma somma anche la serie più complicata 1 − 2 + 3 − 4 + to a 1/4.,

A differenza della serie precedente, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ non è Cesàro sommabile né Abel sommabile. Questi metodi funzionano su serie divergenti oscillanti, ma non possono produrre una risposta finita per una serie che diverge a +∞. La maggior parte delle definizioni più elementari della somma di una serie divergente sono stabili e lineari e qualsiasi metodo sia stabile che lineare non può sommare 1 + 2 + 3 + see a un valore finito; vedi sotto. Sono necessari metodi più avanzati, come la regolarizzazione della funzione zeta o la sommatoria Ramanujan., È anche possibile discutere per il valore di −+1/12 usando alcune euristiche approssimative relative a questi metodi.

HeuristicsEdit

Passaggio da Ramanujan primo notebook che descrive la “costante” della serie

La prima idea chiave è che la serie di numeri positivi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ simile l’alternanza 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯., Quest’ultima serie è anche divergente, ma è molto più facile da lavorare; ci sono diversi metodi classici che gli assegnano un valore, che sono stati esplorati dal 18 ° secolo.

al fine di trasformare la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ in 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, si può sottrarre 4 dal secondo termine, 8 dal quarto periodo, 12, sesto periodo, e così via. L’importo totale da sottrarre è 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯, che è 4 volte la serie originale. Queste relazioni possono essere espresse usando l’algebra. Qualunque sia la” somma ” della serie, chiamala c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.,”b89c09463b”>{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}

The second key insight is that the alternating series 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ is the formal power series expansion of the function 1/(1 + x)2 but with x defined as 1., Di conseguenza, Ramanujan scrive: p − – 3 c = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 4 {\stile di visualizzazione-3c=1-2+3-4+ \ cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac{1} {4}}}

Dividendo entrambi i lati per -3, si ottiene c = – + 1/12.

In generale, non è corretto manipolare serie infinite come se fossero somme finite. Ad esempio, se gli zeri vengono inseriti in posizioni arbitrarie di una serie divergente, è possibile arrivare a risultati che non sono auto-coerenti, per non parlare di coerenza con altri metodi. In particolare, il passo 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ non è giustificato dalla sola legge sull’identità additiva., Per un esempio estremo, l’aggiunta di un singolo zero alla parte anteriore della serie può portare a un risultato diverso.

Un modo per porre rimedio a questa situazione e per limitare i luoghi in cui possono essere inseriti gli zeri, è tenere traccia di ciascun termine della serie allegando una dipendenza da qualche funzione. Nella serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, ogni termine n è solo un numero. Se il termine n è promosso a una funzione n-s, dove s è una variabile complessa, allora si può garantire che vengano aggiunti solo termini simili. La serie risultante può essere manipolata in modo più rigoroso e la variabile s può essere impostata su -1 in seguito., L’implementazione di questa strategia è chiamata regolarizzazione della funzione zeta.

Zeta function regularizationEdit

Da questo punto, ci sono alcuni modi per dimostrare che ζ(-1) = −+1/12. Un metodo, sulla falsariga del ragionamento di Eulero, utilizza la relazione tra la funzione zeta di Riemann e la funzione eta η(s) di Dirichlet. La funzione eta è definita da una serie alternata di Dirichlet, quindi questo metodo è parallelo alle euristiche precedenti.,ht)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}} − 3 ζ ( − 1 ) = η ( − 1 ) = lim x → 1 − ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ ) = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Dividing both sides by −3, one gets ζ(−1) = −+1/12.,

Taglio regularizationEdit

La serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Dopo la levigatura

comportamento Asintotico di smoothing. L’intercetta y della parabola è – +1/12.

Il metodo di regolarizzazione utilizzando una funzione di taglio può “lisciare” la serie per arrivare a −+1/12., Lo smoothing è un ponte concettuale tra la regolarizzazione della funzione zeta, con la sua dipendenza dall’analisi complessa, e la sommatoria di Ramanujan, con la sua scorciatoia per la formula di Eulero–Maclaurin. Invece, il metodo opera direttamente sulle trasformazioni conservative della serie, utilizzando metodi di analisi reale.

L’idea è di sostituire il mal-educati discreti serie ∑ n = 0 N n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n} con una lisciata versione

∑ n = 0 ∞ n f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right)} ,

dove f è una funzione di taglio con opportune proprietà., La funzione di taglio deve essere normalizzata a f(0) = 1; questa è una normalizzazione diversa da quella utilizzata nelle equazioni differenziali. La funzione di taglio dovrebbe avere abbastanza derivati limitati per appianare le rughe nella serie e dovrebbe decadere a 0 più velocemente della crescita della serie. Per comodità, si può richiedere che f sia liscia, delimitata e supportata in modo compatto. Si può quindi dimostrare che questa somma smussata è asintotica a- + 1/12 + CN2, dove C è una costante che dipende da f., Il termine costante dell’espansione asintotica non dipende da f: è necessariamente lo stesso valore dato dalla continuazione analitica, – +1/12.

Somma Ramanujanmodifica

La somma Ramanujan di 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ è anche – +1/12. Ramanujan scrisse nella sua seconda lettera a G. H. Hardy, datata 27 febbraio 1913:

“Caro Signore, sono molto soddisfatto di aver letto la tua lettera dell’ 8 febbraio 1913., Mi aspettavo una risposta da voi simile a quella che un professore di matematica a Londra ha scritto chiedendomi di studiare con attenzione Serie infinita di Bromwich e non cadere nelle insidie di serie divergenti. … Gli ho detto che la somma di un numero infinito di termini della serie: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12 secondo la mia teoria. Se te lo dico, mi indicherai subito il manicomio come mio obiettivo. Mi dilungo su questo semplicemente per convincervi che non sarete in grado di seguire i miei metodi di prova se indico le righe su cui procedo in una sola lettera., summ “

La sommatoria di Ramanujan è un metodo per isolare il termine costante nella formula di Eulero–Maclaurin per le somme parziali di una serie. Per una funzione f, la somma Ramanujan classica della serie k k = 1 ∞ f(k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f ( k)} è definita come

c = − 1 2 f ( 0) − k k = 1 ∞ B 2 k (2 k ) ! il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!}}f ^ {(2k-1)} (0),} c = − 1 6 × 1 2 ! = − 1 12 . Per maggiori informazioni clicca qui!}} =- {\frac {1}{12}}.,}

Per evitare incongruenze, la moderna teoria della sommatoria di Ramanujan richiede che f sia “regolare” nel senso che le derivate di ordine superiore di f decadono abbastanza rapidamente perché i termini rimanenti nella formula di Eulero-Maclaurin tendano a 0. Ramanujan tacitamente assunto questa proprietà. Il requisito di regolarità impedisce l’uso della somma Ramanujan su serie distanziate come 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, perché nessuna funzione regolare prende quei valori. Invece, una tale serie deve essere interpretata dalla regolarizzazione della funzione zeta., Per questo motivo, Hardy raccomanda “grande cautela” quando si applicano le somme Ramanujan di serie note per trovare le somme di serie correlate.

Fallimento di stable linear summation methodsEdit

Un metodo di sommatoria lineare e stabile non può sommare la serie 1 + 2 + 3 + to a qualsiasi valore finito. (Stabile significa che l’aggiunta di un termine all’inizio della serie aumenta la somma dello stesso importo.) Questo può essere visto come segue. Se

1 + 2 + 3 + adding = x

quindi l’aggiunta di 0 su entrambi i lati dà

0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x per stabilità.,

Per linearità, si può sottrarre la seconda equazione dalla prima (sottraendo ogni componente della seconda riga dalla prima riga in colonne) per dare

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