Biographie

Euclide D’Alexandrie est le mathématicien le plus en vue de l’Antiquité mieux connu pour son traité sur les mathématiques les éléments. La nature durable des éléments doit faire D’Euclide le principal professeur de mathématiques de tous les temps. Cependant, on sait peu de choses de la vie D’Euclide, sauf qu’il a enseigné à Alexandrie en Égypte., Proclus, le dernier grand philosophe grec, qui a vécu vers 450 après JC a écrit (voir ou ou beaucoup d’autres sources):-

pas beaucoup plus jeune que ceux-ci est Euclide, qui a mis ensemble les « éléments », organiser dans l’ordre de nombreux théorèmes D’Eudoxe, perfectionner beaucoup de Theaetetus, et aussi apporter à la démonstration irréfutable les choses qui avaient été, Cet homme a vécu à l’époque du premier Ptolémée; pour Archimède, qui a suivi de près le premier Ptolémée fait mention D’Euclide, et en outre, ils disent que Ptolémée lui a demandé une fois s’il y avait un moyen court-circuité pour étudier la géométrie que les éléments, à laquelle il a répondu qu’il n’y avait pas de Il est donc plus jeune que le cercle de Platon, mais plus âgé Qu’Ératosthène et Archimède; car ceux-ci étaient contemporains, comme Ératosthène dit quelque part., Dans son but, il était platonicien, étant en sympathie avec cette philosophie, d’où il a fait de la fin de l’ensemble des « éléments » la construction des soi-disant figures platoniciennes.

il existe d’autres informations sur Euclide données par certains auteurs, mais elles ne sont pas considérées comme fiables. Deux types différents de ces informations supplémentaires existent. Le premier type d’informations supplémentaires est celui donné par les auteurs arabes qui affirment Qu’Euclide était le fils de Naucrates et qu’il est né à Tyr., Les historiens des mathématiques croient que cela est entièrement fictif et a simplement été inventé par les auteurs.
Le deuxième type d’information est qu’Euclide est né à Mégare. Cela est dû à une erreur de la part des auteurs qui ont donné ces informations. En fait, il y avait un Euclide de Megara, qui était un philosophe qui a vécu environ 100 ans avant le mathématicien Euclide d’Alexandrie. Ce n’est pas tout à fait la coïncidence qu’il puisse sembler qu’il y avait deux hommes savants appelés Euclide., En fait Euclide était un nom très commun autour de cette période et c « est une complication supplémentaire qui rend difficile la découverte d » informations concernant Euclide d  » Alexandrie car il y a des références à de nombreux hommes appelés Euclide dans la littérature de cette période.

Pour revenir à la citation de Proclus donnée ci-dessus, le premier point à faire est qu’il n’y a rien d’incohérent dans la datation donnée., Cependant, bien que nous ne sachions pas avec certitude exactement à quoi se réfère Euclide dans L’œuvre D’Archimède Proclus, dans ce qui nous est parvenu, il n’y a qu’une seule référence à Euclide et cela se produit dans la sphère et le cylindre. La conclusion évidente, donc, est que tout va bien avec l « argument de Proclus et cela a été supposé jusqu » à ce que contesté par Hjelmslev dans . Il a soutenu que la référence à Euclide a été ajoutée au livre D’Archimède à un stade ultérieur, et en fait c’est une référence plutôt surprenante., Ce n’était pas la tradition de l’époque de donner de telles références, d’ailleurs il y a beaucoup d’autres endroits à Archimède où il conviendrait de se référer à Euclide et il n’y a pas de telle référence. Malgré les affirmations de Hjelmslev selon lesquelles le passage a été ajouté plus tard, Bulmer-Thomas écrit dans :-

bien qu’il ne soit plus possible de s’appuyer sur cette référence, une considération générale des travaux D’Euclide … montre encore qu’il doit avoir écrit après des élèves de Platon comme Eudoxe et avant Archimède.,

pour plus de détails sur la datation D’Euclide, voir par exemple . C’est loin d’être la fin des arguments sur Euclide le mathématicien. La situation est mieux résumée par Itard qui donne trois hypothèses possibles.

il convient de noter Qu’Itard, qui accepte les affirmations de Hjelmslev selon lesquelles le passage sur Euclide a été ajouté à Archimède, privilégie la deuxième des trois possibilités que nous avons énumérées ci-dessus. Nous devrions cependant faire quelques commentaires sur les trois possibilités qui, il est juste de dire, résument assez bien toutes les théories actuelles possibles.,
Il y a des preuves solides pour accepter (i). Il a été accepté sans aucun doute par tout le monde pendant plus de 2000 ans et il y a peu de preuves qui sont incompatibles avec cette hypothèse. Il est vrai qu’il existe des différences de style entre certains des livres des éléments mais de nombreux auteurs varient leur style. Encore une fois, le fait Qu’Euclide ait sans doute basé les éléments sur des œuvres antérieures signifie qu’il serait plutôt remarquable qu’il ne reste aucune trace du style de l’auteur original.,

même si nous acceptons (i) alors il y a peu de doute Qu’Euclide a construit une école vigoureuse de mathématiques à Alexandrie. Il aurait donc eu des élèves compétents qui auraient pu aider à l’écriture des livres. Cependant l’hypothèse (ii) va beaucoup plus loin que cela et suggérerait que différents livres ont été écrits par différents mathématiciens. En dehors des différences de style mentionnées ci-dessus, il y a peu de preuves directes de cela.,
bien qu’à première vue (iii) puisse sembler la plus fantaisiste des trois suggestions, l’exemple de Bourbaki au 20ème siècle montre néanmoins que c’est loin d’être impossible. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley et Alexander Grothendieck ont écrit collectivement sous le nom de Bourbaki et les éléments de mathématiques de Bourbaki contiennent plus de 30 volumes., Bien sûr, si (iii) était l’hypothèse correcte alors Apollonius, qui a étudié avec les élèves D’Euclide à Alexandrie, doit avoir su qu’il n’y avait personne »Euclide », mais le fait qu’il a écrit:-

…. Euclide n’a pas élaboré les synthèses du lieu par rapport à trois et quatre lignes, mais seulement une partie fortuite de celui-ci …

ne prouve certainement pas Qu’Euclide était un personnage historique car il existe de nombreuses références similaires à Bourbaki par des mathématiciens qui savaient parfaitement que Bourbaki était fictif., Néanmoins, les mathématiciens qui composaient L’équipe Bourbaki sont tous bien connus à part entière et cela peut être le plus grand argument contre l’hypothèse (iii) dans la mesure où « L’équipe Euclide » aurait dû être composée de mathématiciens exceptionnels. Alors, qui sont-ils?
nous supposerons dans cet article que l’hypothèse (i) est vraie mais, n’ayant aucune connaissance D’Euclide, nous devons nous concentrer sur ses travaux après avoir fait quelques commentaires sur d’éventuels événements historiques. Euclide a dû étudier à L’Académie de Platon à Athènes pour avoir appris la géométrie D’Eudoxe et de Theaetetus dont il était si familier.,
aucun des travaux D’Euclide ont une préface, au moins aucun n’est venu jusqu’à nous, il est donc très peu probable que tout jamais existé, de sorte que nous ne pouvons pas voir tout de son caractère, comme nous pouvons de certains autres mathématiciens grecs, de la nature de leurs préfaces. Pappus écrit (voir par exemple ) Qu’Euclide était:-

… plus juste et bien disposé envers tous ceux qui ont été en mesure de faire progresser les mathématiques, attention en aucune façon de donner offense, et bien qu’un savant exact ne se vante pas.,

certains prétendent que ces mots ont été ajoutés à Pappus, et certainement le but du passage (dans une suite que nous n’avons pas Citée) est de parler durement (et presque certainement injustement) D’Apollonius. L’image D’Euclide dessinée par Pappus est, cependant, certainement en ligne avec les preuves de ses textes mathématiques. Une autre histoire racontée par Stobaeus est la suivante:-

… quelqu’un qui avait commencé à apprendre la géométrie avec Euclide, quand il avait appris le premier théorème, a demandé à Euclide  » Qu’est-ce que je vais obtenir en apprenant ces choses?, »Euclide a appelé son esclave et lui a dit » Donnez-lui trois ans, car il doit tirer profit de ce qu’il apprend ».

L’œuvre la plus célèbre D’Euclide est son Traité de mathématiques les éléments. Le livre était une compilation de connaissances qui est devenu le centre de l’enseignement des mathématiques pendant 2000 ans. Probablement aucun résultat dans les éléments ont été prouvés par Euclide, mais L’organisation du matériel et son exposition sont certainement dus à lui., En fait, il existe de nombreuses preuves Qu’Euclide utilise des manuels antérieurs lorsqu’il écrit les éléments, car il introduit un certain nombre de définitions qui ne sont jamais utilisées, telles que celle d’un oblong, d’un losange et d’un rhomboïde.
Les éléments commencent par des définitions et cinq postulats. Les trois premiers postulats sont des postulats de construction, par exemple le premier postulat stipule qu’il est possible de tracer une ligne droite entre deux points quelconques., Ces postulats supposent également implicitement l’existence de points, de lignes et de cercles, puis l’existence d’autres objets géométriques est déduite du fait que ceux-ci existent. Il y a d’autres hypothèses dans les postulats qui ne sont pas explicites. Par exemple, on suppose qu’il existe une ligne unique joignant deux points quelconques. De même postule deux et trois, sur la production de lignes droites et de cercles de dessin, respectivement, supposent l’unicité des objets dont la possibilité de construction est postulée.
Les quatrième et cinquième postulats sont de nature différente., Postulez quatre états que tous les angles droits sont égaux. Cela peut sembler « évident » mais cela suppose en fait que l’espace dans homogène – nous entendons par là qu’une figure sera indépendante de la position dans l’espace dans lequel elle est placée. Le fameux cinquième, ou parallèle, postulat stipule qu’une et une seule ligne peut être tracée à travers un point parallèle à une ligne donnée. La décision d’Euclide d’en faire un postulat a conduit à la géométrie euclidienne. Ce n’est qu’au 19ème siècle que ce postulat a été abandonné et que des géométries non euclidiennes ont été étudiées.

Il y a aussi des axiomes Qu’Euclide appelle « notions communes »., Ce ne sont pas des propriétés géométriques spécifiques, mais plutôt des hypothèses générales qui permettent aux mathématiques de procéder comme une science déductive. Par exemple:-

les choses qui sont égales à la même chose sont égales les unes aux autres.

Zénon de Sidon, environ 250 ans après Qu’Euclide a écrit les éléments, semble avoir été le premier à montrer que les propositions D’Euclide n’étaient pas déduites des seuls postulats et axiomes, et Euclide fait d’autres hypothèses subtiles.
Les éléments est divisé en 13 livres. Les livres un à six traitent de la géométrie plane., En particulier, les livres un et deux énoncent les propriétés de base des triangles, des parallèles, des parallélogrammes, des rectangles et des carrés. Le livre trois étudie les propriétés du cercle tandis que le livre quatre traite des problèmes sur les cercles et est pensé en grande partie pour exposer le travail des disciples de Pythagore. Le livre cinq expose le travail d’Eudoxe sur la proportion appliquée à des grandeurs commensurables et incommensurables. Heath dit:-

les mathématiques grecques ne peuvent se vanter d’une découverte plus fine que cette théorie, qui a mis sur une base solide tant de géométrie que dépendait de l’utilisation des proportions.,

Le Livre six examine les applications des résultats du livre cinq à la géométrie plane.
Les livres sept à neuf traitent de la théorie des nombres. En particulier, le livre sept est une introduction autonome à la théorie des nombres et contient l’algorithme euclidien pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres. Le livre huit examine les nombres dans la progression géométrique mais van der Waerden écrit qu’il contient:-

… énonciations encombrantes, répétitions inutiles et même erreurs logiques., Apparemment, L’exposition D’Euclide n’excellait que dans les parties dans lesquelles il disposait d’excellentes sources.

le livre Dix traite de la théorie des nombres irrationnels et est principalement l’œuvre de Theaetetus. Euclide a changé les preuves de plusieurs théorèmes dans ce livre afin qu’ils correspondent à la nouvelle définition de la proportion donnée par Eudoxe.
Les livres onze à treize traitent de la géométrie tridimensionnelle. Dans le livre onze les définitions de base nécessaires pour les trois livres sont donnés., Les théorèmes suivent alors un schéma assez similaire aux analogues bidimensionnels précédemment donnés dans les livres un et quatre. Les principaux résultats de livre douze sont que les cercles sont l’un à l’autre comme les carrés de leurs diamètres et que les sphères sont les uns aux autres comme les cubes de leurs diamètres. Ces résultats sont certainement dus à Eudoxus. Euclide prouve ces théorèmes en utilisant la » méthode d’épuisement  » telle qu’inventée par Eudoxe. Les éléments se termine par le livre treize qui traite des propriétés des cinq polyèdres réguliers et donne une preuve qu’il y en a précisément cinq., Ce livre semble être basé en grande partie sur un traité antérieur de Theaetetus.

Les éléments D’Euclide sont remarquables par la clarté avec laquelle les théorèmes sont énoncés et prouvés. L’exigence de rigueur allait devenir un objectif pour les inventeurs du calcul des siècles plus tard. Comme Heath l’écrit dans:-

ce livre merveilleux, avec toutes ses imperfections, qui sont en effet assez légères quand on tient compte de la date à laquelle il est apparu, est et restera sans doute le plus grand manuel mathématique de tous les temps. …, Même à l’époque grecque, les mathématiciens les plus accomplis s’en occupaient: Héron, Pappus, Porphyre, Proclus et Simplicius écrivaient des commentaires; Théon d’Alexandrie le rééditait, modifiant la langue ici et là, principalement dans le but de plus de clarté et de cohérence…

c’est une histoire fascinante comment les éléments ont survécu de L’époque D’Euclide et cela est bien raconté par Fowler dans ., Il décrit les premiers documents relatifs aux éléments qui ont survécu:-

notre premier aperçu du matériel euclidien sera le plus remarquable depuis mille ans, six ostraca fragmentaires contenant du texte et une figure … trouvé sur L’île Éléphantine en 1906/07 et 1907/08… Ces textes sont précoces, bien que plus de 100 ans après la mort de Platon (ils sont datés pour des raisons paléographiques au troisième quart du troisième siècle avant JC); avancés (ils traitent des résultats trouvés dans les « éléments » …, sur le pentagone, hexagone, décagone, et l’icosaèdre); et ils ne suivent pas le texte des Éléments. … Ils témoignent donc de quelqu’un au troisième siècle avant JC, Situé à plus de 500 miles au sud d’Alexandrie, travaillant à travers ce matériel difficile… cela peut être une tentative de comprendre les mathématiques, et non une copie servile …

le fragment suivant que nous avons date de 75 à 125 après JC et semble à nouveau être des notes de quelqu’un essayant de comprendre le matériel des éléments.,
plus de mille éditions des éléments ont été publiées depuis sa première impression en 1482. Heath discute de nombreuses éditions et décrit les changements probables apportés au texte au fil des ans.
B L van der Waerden évalue l’importance des éléments dans:-

presque depuis sa rédaction et jusqu’à nos jours, les éléments ont exercé une influence continue et majeure sur les affaires humaines. C’était la source principale du raisonnement géométrique, des théorèmes et des méthodes au moins jusqu’à l’avènement de la géométrie non euclidienne au 19ème siècle., On dit parfois que, à côté de la Bible, les « éléments » sont peut-être les plus traduits, publiés et étudiés de tous les livres produits dans le monde occidental.,

Euclide a également écrit les livres suivants qui ont survécu: Data (avec 94 propositions), qui examine quelles propriétés des figures peuvent être déduites lorsque d’autres propriétés sont données; on Divisions qui examine les constructions pour diviser une figure en deux parties avec des zones de rapport donné; Optics qui est le premier travail Grec sur la perspective; et Phaenomena qui est une introduction élémentaire à l’astronomie mathématique et donne des résultats sur les heures où les étoiles dans certaines positions vont se lever et se coucher., Les livres suivants d’Euclide ont tous été perdus: surface Loci (deux livres), Porismes (un ouvrage de trois livres avec, Selon Pappus, 171 théorèmes et 38 lemmes), Conics (quatre livres), Book of Fallacies et Elements of Music. Le Livre des erreurs est décrit par Proclus:-

puisque beaucoup de choses semblent se conformer à la vérité et suivre des principes scientifiques, mais s’égarer des principes et tromper les plus superficiels, a transmis des méthodes pour la compréhension clairvoyante de ces questions aussi …, Le traité dans lequel il nous a donné cette Machinerie s’intitule Fallacies, énumérant dans l’ordre les différentes sortes, exerçant notre intelligence dans chaque cas par des théorèmes de toutes sortes, mettant le vrai côte à côte avec le faux, et combinant la réfutation de l’erreur avec une illustration pratique.

Elements of Music est une œuvre attribuée à Euclide par Proclus. Nous avons deux traités sur la musique qui ont survécu, et ont par certains auteurs attribués à Euclide, mais on pense maintenant qu’ils ne sont pas l’œuvre sur la musique mentionnée par Proclus.,
Euclide peut ne pas avoir été un mathématicien de première classe, mais la nature durable des éléments doit faire de lui le principal professeur de mathématiques de l’antiquité ou peut-être de tous les temps. Comme une note personnelle finale permettez-moi d’ajouter que ma propre introduction aux mathématiques à l’école dans les années 1950 était d’une édition d’une partie des éléments D’Euclide et le travail a fourni une base logique pour les mathématiques et le concept de preuve qui semblent manquer dans les mathématiques scolaires aujourd’hui.