de premier ordre d’une équation différentielle de la forme:

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0} M ( λ x , λ y ) = λ n M ( x , y ) et N ( λ x , λ y ) = λ n N ( x , y ) . {\displaystyle M (\lambda x, \ lambda y)=\lambda ^{N}M (x, y) \quad {\text{et}}\quad n (\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}

ainsi,

M ( λ x, λ y) N ( λ X , λ y) = M ( x , y) n (x , y). {\displaystyle {\frac {M (\lambda x,\lambda y)}{n (\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{n(x,y)}}\,.,}

Solution methodEdit

M ( x , y ) N ( x , y ) = M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( 1 , y / x ) N ( 1 , y / x ) = f ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}

C’est − à-dire

D y D x = – f ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).}

introduire le changement de cette ‘variable’ y = u x {\displaystyle y=ux} ; différencier en utilisant la règle du produit:

D y D x = d ( u x ) D x = x d U D x + U D x D x = x D u D x + u ., {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}

Cela transforme l’origine de l’équation différentielle dans le séparables formulaire

x d u d x = − f ( u ) − u , {\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}

ou

1 x d x d u = − 1 f ( u ) + u , {\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}

qui peut maintenant être intégré directement: log x est égale à la antiderivative de la droite (voir équation différentielle ordinaire).,

cas Spécialedit

une équation différentielle du premier ordre de la forme (a, B, C, e, f, g sont toutes des constantes)

( A x + b y + c ) D x + ( e X + f Y + g ) D Y = 0 {\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}

où af bec becan être transformé en un type homogène les deux variables ( α {\displaystyle \alpha } et β {\displaystyle \beta } sont des constantes):

T = x + α ; z = y + β . {\displaystyle t=x+\alpha\,\,\,\,z=y+\beta \,.}