géométrie hyperbolique

la première description de la géométrie hyperbolique a été donnée dans le contexte des postulats D’Euclide, et il a rapidement été prouvé que toutes les géométries hyperboliques ne diffèrent que par leur échelle (dans le même sens que les sphères ne diffèrent Au milieu du 19ème siècle, il a été montré que les surfaces hyperboliques doivent avoir une courbure négative constante. Cependant, cela laissait toujours ouverte la question de savoir si une surface à géométrie hyperbolique existe réellement.,

en 1868, le mathématicien italien Eugenio Beltrami décrit une surface, appelée pseudosphère, à courbure négative constante. Cependant, la pseudosphère n’est pas un modèle complet pour la géométrie hyperbolique, car des lignes intrinsèquement droites sur la pseudosphère peuvent se croiser et ne peuvent pas être poursuivies au-delà du cercle délimitant (ni l’une ni l’autre n’est vraie en géométrie hyperbolique)., En 1901, le mathématicien allemand David Hilbert a prouvé qu’il est impossible de définir une surface hyperbolique complète en utilisant des fonctions analytiques réelles (essentiellement, des fonctions pouvant être exprimées en termes de formules ordinaires). À cette époque, une surface signifiait toujours une surface définie par des fonctions analytiques réelles, et la recherche a donc été abandonnée. Cependant, en 1955, le mathématicien néerlandais Nicolaas Kuiper a prouvé l’existence d’une surface hyperbolique complète, et dans les années 1970, le mathématicien Américain William Thurston décrit la construction d’une surface hyperbolique., Une telle surface, comme le montre la figure, peut également être crocheté.

au 19ème siècle, les mathématiciens ont développé trois modèles de géométrie hyperbolique qui peuvent maintenant être interprétés comme des projections (ou des cartes) de la surface hyperbolique., Bien que ces modèles souffrent tous d’une certaine distorsion—similaire à la façon dont les cartes plates déforment la Terre sphérique—ils sont utiles individuellement et en combinaison comme aides pour comprendre la géométrie hyperbolique. En 1869-71 Beltrami et le mathématicien allemand Felix Klein ont développé le premier modèle complet de géométrie hyperbolique (et d’abord appelé la géométrie « hyperbolique”). Dans le modèle de Klein-Beltrami (représenté sur la figure en haut à gauche), la surface hyperbolique est mappée à l’intérieur d’un cercle, avec des géodésiques dans la surface hyperbolique correspondant aux accords dans le cercle., Ainsi, le modèle Klein-Beltrami préserve la” rectitude  » mais au prix de déformer les angles. Vers 1880, le mathématicien français Henri Poincaré a développé deux autres modèles. Dans le modèle de disque de Poincaré (voir figure en haut à droite), la surface hyperbolique est mappée à l’intérieur d’un disque circulaire, les géodésiques hyperboliques étant mappées aux arcs de cercle (ou diamètres) du disque qui rencontrent le cercle de délimitation à angle droit., Dans le modèle du demi-plan supérieur de Poincaré (voir figure, en bas), la surface hyperbolique est cartographiée sur le demi-plan au-dessus de l’axe des abscisses, avec des géodésiques hyperboliques mappées aux demi-cercles (ou rayons verticaux) qui rencontrent l’axe des abscisses à angle droit. Les deux modèles de Poincaré déforment les distances tout en préservant les angles mesurés par les lignes tangentes.,

David W., Henderson Chanson Taimina