contrainte uniaxiale (1d)
σ 1 = σ y {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!},
contrainte multiaxiale (2D ou 3D) edit
une contrainte de traction équivalente ou une contrainte de von Mises équivalente, σ v {\displaystyle \sigma _{\text{v}}} est utilisée pour prédire le rendement des matériaux dans des conditions de charge multiaxiale en utilisant les résultats de simples essais de traction uniaxiale., ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 2 = 3 2 s i j s i j {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!,} σ dev = σ − tr ( σ ) 3 I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!} .
Dans ce cas, ce qui donne se produit lorsque la contrainte équivalente, σ v {\displaystyle \sigma _{\text{v}}} , atteint la limite d’élasticité du matériau en traction simple, σ y {\displaystyle \sigma _{\text{y}}} . À titre d’exemple, l’état de contrainte d’une poutre en acier en compression diffère de l’état de contrainte d’un essieu en acier en torsion, même si les deux éprouvettes sont du même matériau., Compte tenu du tenseur des contraintes, qui décrit pleinement l’état de contrainte, cette différence se manifeste par six degrés de liberté, car le tenseur des contraintes a six composantes indépendantes. Par conséquent, il est difficile de dire lequel des deux spécimens est le plus proche du point d’élasticité ou l’a même atteint. Cependant, au moyen du critère de rendement de von Mises, qui dépend uniquement de la valeur de la contrainte scalaire de von Mises, c’est-à-dire d’un degré de liberté, cette comparaison est simple: une valeur de von Mises plus grande implique que le matériau est plus proche du point de rendement.,
σ 12 = k = σ y 3 {\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!} .
cela signifie qu’au début du rendement, l’amplitude de la contrainte de cisaillement en cisaillement pur est 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} fois inférieure à la contrainte de cisaillement en cas de tension simple. La contrainte de von Mises rendement critère de pure contrainte de cisaillement, exprimé dans les contraintes principales, est
( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 = 2 σ y 2 {\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!,} σ 1 2-σ 1 σ 2 + σ 2 2 = 3 k 2 = σ y 2 {\displaystyle \ sigma _{1}^{2}-\vous avez besoin de plus d’informations que vous ne le souhaitez.!}
Cette équation représente une ellipse dans le plan σ 1 − σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}} .