Parmi les classiques de séries divergentes, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est relativement difficile à manipuler en une valeur finie. De nombreuses méthodes de sommation sont utilisées pour attribuer des valeurs numériques à des séries divergentes, certaines plus puissantes que d’autres. Par exemple, la sommation de Cesàro est une méthode bien connue qui résume la série de Grandi, la série légèrement divergente 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, à 1/2. La sommation d’Abel est une méthode plus puissante qui non seulement résume la série de Grandi à 1/2, mais résume également la série la plus délicate 1 − 2 + 3 − 4 + to à 1/4.,

contrairement à la série ci-dessus, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ N’est pas sommable Cesàro ni sommable Abel. Ces méthodes fonctionnent sur des séries divergentes oscillantes, mais elles ne peuvent pas produire de réponse finie pour une série qui diverge à +∞. La plupart des définitions les plus élémentaires de la somme d’une série divergente sont stables et linéaires, et toute méthode à la fois stable et linéaire ne peut pas additionner 1 + 2 + 3 + to à une valeur finie; voir ci-dessous. Des méthodes plus avancées sont nécessaires, telles que la régularisation de la fonction zêta ou la sommation Ramanujan., Il est également possible de plaider pour la valeur de −+1/12 en utilisant des heuristiques approximatives liées à ces méthodes.

HeuristicsEdit

La première hypothèse est que la série des nombres positifs 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ressemble étroitement à l’alternance de la série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯., Cette dernière série est également divergente, mais il est beaucoup plus facile de travailler avec; il existe plusieurs méthodes classiques qui lui attribuent une valeur, qui ont été explorées depuis le 18ème siècle.

afin de transformer la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ en 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, on peut soustraire 4 à partir de la deuxième mandat, 8 de la quatrième terme, 12 à partir de la sixième législature, et ainsi de suite. Le montant total à soustraire est 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯, ce qui est 4 fois la série originale. Ces relations peuvent être exprimées en utilisant l’algèbre. Quelle que soit la « somme » de la série pourrait être, c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯., »b89c09463b »>{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}

The second key insight is that the alternating series 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ is the formal power series expansion of the function 1/(1 + x)2 but with x defined as 1., En conséquence, Ramanujan écrit:

− 3 c = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

en Divisant les deux côtés par -3, on obtient c = −+1/12.

de manière générale, il est incorrect de manipuler des séries infinies comme s’il s’agissait de sommes finies. Par exemple, si des zéros sont insérés dans des positions arbitraires d’une série divergente, il est possible d’arriver à des résultats qui ne sont pas auto-cohérents, encore moins cohérents avec d’autres méthodes. En particulier, l’étape 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ n’est pas justifiée par la seule loi sur l’identité additive., Pour un exemple extrême, l’ajout d’un seul zéro à l’avant de la série peut conduire à un résultat différent.

Une façon de remédier à cette situation, et de contraindre les endroits où des zéros peuvent être insérés, est de garder une trace de chaque terme de la série en attachant une dépendance à une fonction. Dans la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, chaque terme n est juste un nombre. Si le terme n est promu à une fonction n−s, où s est une variable complexe, alors on peut s’assurer que seules les modalités sont ajoutés. La série résultante peut être manipulée de manière plus rigoureuse, et la variable s peut être réglée sur -1 plus tard., La mise en œuvre de cette stratégie est appelée régularisation de la fonction zêta.

régularisation de la fonction zêta

à partir de ce point, il existe plusieurs façons de prouver que ζ(-1) = −+1/12. Une méthode, dans le sens du raisonnement D’Euler, utilise la relation entre la fonction zêta de Riemann et la fonction ETA η(s) de Dirichlet. La fonction eta est définie par une série de Dirichlet alternée, donc cette méthode est parallèle aux heuristiques précédentes.,ht)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}} − 3 ζ ( − 1 ) = η ( − 1 ) = lim x → 1 − ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ ) = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Dividing both sides by −3, one gets ζ(−1) = −+1/12.,

Coupure regularizationEdit

La méthode de régularisation à l’aide d’une fonction de coupure peut « lisser » la série pour arriver à+1/12., Le lissage est un pont conceptuel entre la régularisation de la fonction zêta, avec sa dépendance à l’analyse complexe, et la sommation de Ramanujan, avec son raccourci vers la formule D’Euler–Maclaurin. Au lieu de cela, la méthode opère directement sur les transformations conservatrices de la série, en utilisant des méthodes d’analyse réelle.

L’idée est de remplacer le mauvais comportement discret de la série ∑ n = 0 N n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n} avec une version lissée

∑ n = 0 ∞ n f ( n N ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right)} ,

où f est une fonction de coupure avec les propriétés appropriées., La fonction de coupure doit être normalisée à f(0) = 1; Il s’agit d’une normalisation différente de celle utilisée dans les équations différentielles. La fonction de coupure devrait avoir suffisamment de dérivés bornés pour lisser les rides de la série, et elle devrait se désintégrer à 0 plus rapidement que la série ne se développe. Pour plus de commodité, on peut exiger que f soit lisse, borné et pris en charge de manière compacte. On peut alors prouver que cette somme lissée est asymptotique à – + 1/12 + CN2, où C est une constante qui dépend de F., Le terme constant de l’expansion asymptotique ne dépend pas de f: c’est nécessairement la même valeur donnée par la suite analytique, −+1/12.

somme de Ramanujanmodifier

la somme de Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est également − + 1/12. Ramanujan a écrit dans sa deuxième lettre à G. H. Hardy, datée du 27 février 1913:

« Cher Monsieur, je suis très heureux de lire votre lettre du 8 février 1913., Je m’attendais à une réponse de votre part similaire à celle qu’un professeur de mathématiques à Londres m’a écrite en me demandant d’étudier attentivement la série infinie de Bromwich et de ne pas tomber dans les pièges des séries divergentes. … Je lui ai dit que la somme d’un nombre infini de termes de la série: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12 selon ma théorie. Si je vous dis cela, vous me signalerez immédiatement l’asile de fous comme mon objectif. Je me dilate là-dessus simplement pour vous convaincre que vous ne pourrez pas suivre mes méthodes de preuve si j’indique les lignes sur lesquelles je procède en une seule lettre., … « 

la sommation de Ramanujan est une méthode pour isoler le terme constant dans la formule D’Euler–Maclaurin pour les sommes partielles d’une série. Pour une fonction f, la somme Ramanujan classique de la série ∑ k = 1 ∞ f(k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f ( k)} est définie comme

C = − 1 2 f ( 0 ) − ∑ k = 1 ∞ b 2 k (2 K ) ! f ( 2 (k − 1 ) ( 0 ) , {\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)} (0),} C = − 1 6 × 1 2 ! = − 1 12 . {\displaystyle c=-{\frac{1} {6}} \fois {\frac{1} {2!}}=-{\frac {1}{12}}.,}

pour éviter les incohérences, la théorie moderne de la sommation de Ramanujan exige que f soit « régulier » dans le sens où les dérivées d’ordre supérieur de f se désintègrent assez rapidement pour que les Termes restants dans la formule D’Euler-Maclaurin tendent vers 0. Ramanujan a tacitement assumé cette propriété. L’exigence de régularité empêche l’utilisation de la sommation Ramanujan sur des séries espacées comme 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, parce qu’aucune fonction régulière ne prend ces valeurs. Au lieu de cela, une telle série doit être interprétée par la régularisation de la fonction zêta., Pour cette raison, Hardy recommande » une grande prudence  » lors de l’application des sommes Ramanujan de séries connues pour trouver les sommes de séries connexes.

échec des méthodes de sommation linéaire stablemodifier

Une méthode de sommation linéaire et stable ne peut pas additionner la série 1 + 2 + 3 + to à n’importe quelle valeur finie. (Stable signifie que l’ajout d’un terme au début de la série augmente la somme du même montant. Ceci peut être vu comme suit. Si

1 + 2 + 3 + ⋯ = x

ensuite, l’ajout de 0 pour les deux côtés donne

0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x par la stabilité.,

par linéarité, on peut soustraire la deuxième équation de la première (en soustrayant chaque composante de la deuxième ligne de la première ligne en colonnes) pour donner