entre las series divergentes clásicas, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es relativamente difícil de manipular en un valor finito. Muchos métodos de suma se utilizan para asignar valores numéricos a series divergentes, algunos más poderosos que otros. Por ejemplo, la suma de Cesàro es un método bien conocido que suma la serie de Grandi, la serie ligeramente divergente 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, a 1/2. La suma de Abel es un método más poderoso que no solo suma la serie de Grandi a 1/2, sino que también suma la serie más complicada 1 − 2 + 3 − 4 + to a 1/4.,

a diferencia de la serie anterior, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ no es Cesàro sumable ni Abel sumable. Estos métodos trabajan en series divergentes oscilantes, pero no pueden producir una respuesta finita para una serie que diverge a +∞. La mayoría de las definiciones más elementales de la suma de una serie divergente son estables y lineales, y cualquier método que sea a la vez estable y lineal no puede sumar 1 + 2 + 3 + see a un valor finito; ver más abajo. Se requieren métodos más avanzados, como la regularización de la función zeta o la suma de Ramanujan., También es posible argumentar el valor de – +1/12 usando algunas heurísticas aproximadas relacionadas con estos métodos.

HeuristicsEdit

La primera idea clave es que la serie de números positivos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ se asemeja mucho a la alternancia de la serie 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯., Esta última serie también es divergente, pero es mucho más fácil de trabajar; hay varios métodos clásicos que le asignan un valor, que se han explorado desde el siglo XVIII.

con el fin De transformar la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ en 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, uno puede restar 4 a partir del segundo semestre, 8 en el cuarto periodo, 12 de la sexta plazo, y así sucesivamente. La cantidad total a restar es 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯, que es 4 veces la serie original. Estas relaciones se pueden expresar usando álgebra. Cualquiera que sea la «suma» de la serie, llámela c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.,»b89c09463b»>{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}

The second key insight is that the alternating series 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ is the formal power series expansion of the function 1/(1 + x)2 but with x defined as 1., En consecuencia, Ramanujan escribe:

− 3 c = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Dividir ambos lados por -3, se obtiene c = −+1/12.

en términos generales, es incorrecto manipular series infinitas como si fueran sumas finitas. Por ejemplo, si los ceros se insertan en posiciones arbitrarias de una serie divergente, es posible llegar a resultados que no son auto-consistentes, y mucho menos consistentes con otros métodos. En particular, la etapa 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ no se justifica únicamente por la Ley de identidad aditiva., Para un ejemplo extremo, agregar un solo cero al frente de la serie puede conducir a un resultado diferente.

una forma de remediar esta situación, y para restringir los lugares donde los ceros pueden ser insertados, es mantener un registro de cada término en la serie mediante la fijación de una dependencia de alguna función. En la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, cada término n es solo un número. Si el término n se promueve a una función n-s, donde s es una variable compleja, entonces uno puede asegurar que solo se agregan términos similares. La serie resultante puede ser manipulada de una manera más rigurosa, y la variable s Se puede establecer en -1 más adelante., La implementación de esta estrategia se denomina regularización de la función zeta.

regularización de la función Zetaeditar

desde este punto, hay algunas maneras de demostrar Que ζ(-1) = −+1/12. Un método, en la línea del razonamiento de Euler, utiliza la relación entre la función zeta de Riemann y la función ETA de Dirichlet η(s). La función eta está definida por una serie alterna de Dirichlet, por lo que este método es paralelo a la heurística anterior.,ht)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}} − 3 ζ ( − 1 ) = η ( − 1 ) = lim x → 1 − ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ ) = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Dividing both sides by −3, one gets ζ(−1) = −+1/12.,

Corte regularizationEdit

el método de regularización utilizando una función de corte puede «suavizar» la serie para llegar a −+1/12., El suavizado es un puente conceptual entre la regularización de la función zeta, con su dependencia del análisis complejo, y la suma de Ramanujan, con su atajo a la fórmula de Euler–Maclaurin. En cambio, el método opera directamente en transformaciones conservadoras de la serie, utilizando métodos de análisis real.

la idea es reemplazar la serie discreta de mal comportamiento ∑ n = 0 N n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n} con una versión suavizada

∑ n = 0 ∞ n f ( n N ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right)} ,

donde f es una función de corte con propiedades apropiadas., La función de corte debe ser normalizada a f ( 0) = 1; Esta es una normalización diferente de la utilizada en ecuaciones diferenciales. La función de corte debe tener suficientes derivados acotados para suavizar las arrugas en la serie, y debe decaer a 0 más rápido de lo que crece la serie. Para mayor comodidad, se puede requerir que f sea lisa, acotada y con soporte compacto. Uno puede entonces probar que esta suma suavizada es asintótica a – +1/12 + CN2, donde C es una constante que depende de f., El término constante de la expansión asintótica no depende de f: es necesariamente el mismo valor dado por la continuación analítica, −+1/12.

suma de Ramanujaneditar

la suma de Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es también – +1/12. Ramanujan escribió en su segunda carta a G. H. Hardy, fechada el 27 de febrero de 1913:

«Estimado Señor, Estoy muy complacido de leer su carta del 8 de febrero de 1913., Estaba esperando una respuesta de usted similar a la que un profesor de matemáticas en Londres escribió pidiéndome que estudiara cuidadosamente la serie infinita de Bromwich y no caer en las trampas de las series divergentes. … Yo le dije que la suma de un número infinito de términos de la serie: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12 bajo mi teoría. Si te digo esto, inmediatamente me señalarás el manicomio como mi objetivo. Me explico sobre esto simplemente para convencerle de que no podrá seguir mis métodos de prueba si Indico las líneas en las que procedo en una sola carta., RAM «

la suma de Ramanujan es un método para aislar el término constante en la fórmula de Euler–Maclaurin para las sumas parciales de una serie. Para una función f, el clásico de Ramanujan suma de la serie ∑ k = 1 ∞ f ( k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)} se define como

c = − 1 2 f ( 0 ) − ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) , {\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),} C = − 1 6 × 1 2 ! = − 1 12 . {\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{2!}} = – {\frac {1}{12}}.,}

para evitar inconsistencias, la teoría moderna de la suma de Ramanujan requiere que f es «regular» en el sentido de que las derivadas de orden superior de f decaen lo suficientemente rápido como para que los términos restantes en la fórmula de Euler-Maclaurin tiendan a 0. Ramanujan asumió tácitamente esta propiedad. El requisito de regularidad evita el uso de la suma de Ramanujan en series espaciadas como 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, porque ninguna función regular toma esos valores. En cambio, tal serie debe ser interpretada por la regularización de la función zeta., Por esta razón, Hardy recomienda «gran precaución» al aplicar las sumas de Ramanujan de series conocidas para encontrar las sumas de series relacionadas.

fallo de métodos de suma lineal estableeditar

un método de suma que es lineal y estable no puede sumar la serie 1 + 2 + 3 + to a cualquier valor finito. (Estable significa que agregar un término al principio de la serie aumenta la suma en la misma cantidad.) Esto puede verse como sigue. Si

1 + 2 + 3 + adding = x

luego agregar 0 a ambos lados da

0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x Por estabilidad.,

Por linealidad, se puede restar la segunda ecuación de la primera (restando cada componente de la segunda línea de la primera línea en columnas) para dar